Dada a tabela:
x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
ln(x) -2.303 -1.609 -1.204 -0.916 -0.693
(b) Qual deve ser o valor de h se queremos obter ln(x) com três casas decimais corretas, para x ≥ 1, através de interpolação linear, usando uma tabela para argumentos xi igualmente espaçados de h ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o valor de que garante que a função seja calculada com três casas decimais corretas usando interpolação linear. Isso vale para e estamos usando uma tabela com pontos espaçados igualmente por . Para resolver isso, vamos precisar entender como a interpolação linear funciona e como o erro dessa aproximação se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é interpolação linear. Basicamente, quando a gente tem uma tabela de valores da função, a interpolação linear nos permite estimar valores intermediários entre dois pontos conhecidos da tabela. A ideia é traçar uma reta entre os dois pontos mais próximos e usar essa reta para estimar o valor desejado.
Mas, claro, essa aproximação não é perfeita. Sempre terá um erro, e esse erro depende do espaçamento dos pontos na tabela e da curvatura da função que estamos interpolando. No nosso caso, a função é .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o erro na interpolação linear. O erro máximo da interpolação linear é dado por:
Onde:
  • é o espaçamento entre os pontos da tabela.
  • é a segunda derivada da função .
Calculando a segunda derivada de :
Para , o valor máximo de é 1 (quando ). Então, nosso erro máximo fica:
Aqui, usamos porque queremos que o erro seja menor que meio da última casa decimal para garantir que as três primeiras casas sejam corretas.
Resolvendo para :
Arredondando para três casas decimais, temos .

Resposta

O valor de deve ser aproximadamente para garantir três casas decimais corretas na interpolação linear de para .

Exercícios relacionados