Dada a tabela:
|
0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 |
---|---|---|---|---|---|
|
-2.303 | -1.609 | -1.204 | -0.916 | -0.693 |
(b) Qual deve ser o valor de
se queremos obter
com três casas decimais corretas, para
, através de interpolação linear, usando uma tabela para argumentos
igualmente espaçados de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o valor de
que garante que a função
seja calculada com três casas decimais corretas usando interpolação linear. Isso vale para
e estamos usando uma tabela com pontos
espaçados igualmente por
. Para resolver isso, vamos precisar entender como a interpolação linear funciona e como o erro dessa aproximação se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é interpolação linear. Basicamente, quando a gente tem uma tabela de valores da função, a interpolação linear nos permite estimar valores intermediários entre dois pontos conhecidos da tabela. A ideia é traçar uma reta entre os dois pontos mais próximos e usar essa reta para estimar o valor desejado.
Mas, claro, essa aproximação não é perfeita. Sempre terá um erro, e esse erro depende do espaçamento
dos pontos na tabela e da curvatura da função que estamos interpolando. No nosso caso, a função é
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o erro na interpolação linear. O erro máximo da interpolação linear é dado por:
Onde:
-
é o espaçamento entre os pontos da tabela. -
é a segunda derivada da função .
Calculando a segunda derivada de
:
Para
, o valor máximo de
é 1 (quando
). Então, nosso erro máximo fica:
Aqui, usamos
porque queremos que o erro seja menor que meio da última casa decimal para garantir que as três primeiras casas sejam corretas.
Resolvendo para
:
Arredondando para três casas decimais, temos
.
Resposta
O valor de
deve ser aproximadamente
para garantir três casas decimais corretas na interpolação linear de
para
.