Dada a tabela:
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-2.303 -1.609 -1.204 -0.916 -0.693
(b) Qual deve ser o valor de se queremos obter com três casas decimais corretas, para , através de interpolação linear, usando uma tabela para argumentos igualmente espaçados de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o valor de que garante que a função seja calculada com três casas decimais corretas usando interpolação linear. Isso vale para e estamos usando uma tabela com pontos espaçados igualmente por . Para resolver isso, vamos precisar entender como a interpolação linear funciona e como o erro dessa aproximação se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é interpolação linear. Basicamente, quando a gente tem uma tabela de valores da função, a interpolação linear nos permite estimar valores intermediários entre dois pontos conhecidos da tabela. A ideia é traçar uma reta entre os dois pontos mais próximos e usar essa reta para estimar o valor desejado.
Mas, claro, essa aproximação não é perfeita. Sempre terá um erro, e esse erro depende do espaçamento dos pontos na tabela e da curvatura da função que estamos interpolando. No nosso caso, a função é .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o erro na interpolação linear. O erro máximo da interpolação linear é dado por:
Onde:
  • é o espaçamento entre os pontos da tabela.
  • é a segunda derivada da função .
Calculando a segunda derivada de :
Para , o valor máximo de é 1 (quando ). Então, nosso erro máximo fica:
Aqui, usamos porque queremos que o erro seja menor que meio da última casa decimal para garantir que as três primeiras casas sejam corretas.
Resolvendo para :
Arredondando para três casas decimais, temos .

Resposta

O valor de deve ser aproximadamente para garantir três casas decimais corretas na interpolação linear de para .

Exercícios relacionados

Mostre que a interpolação de um polinômio de grau sobre pontos, , é exata. (Dica: use a fórmula para o erro de interpolação).
Dada a função e a tabela:
2.25 2.5 2.75
6.930 8.726 10.87
(a) Calcular o polinômio de interpolação sobre 3 pontos usando a forma de Newton.
Dada a função tabelada:
0 1 1.5 2.5 3.0
1.0 0.5 0.4 0.286 0.25
(a) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre dois pontos (interpolação linear). (Use os pontos mais próximos de )
Seja a função tabelada:
-2 -1 1 2
0 1 -1 0
(a) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton.