Dada a tabela:
|
0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 |
---|---|---|---|---|---|
|
-2.303 | -1.609 | -1.204 | -0.916 | -0.693 |
(b) Qual deve ser o valor de
se queremos obter
com três casas decimais corretas, para
, através de interpolação linear, usando uma tabela para argumentos
igualmente espaçados de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o valor de
que garante que a função
seja calculada com três casas decimais corretas usando interpolação linear. Isso vale para
e estamos usando uma tabela com pontos
espaçados igualmente por
. Para resolver isso, vamos precisar entender como a interpolação linear funciona e como o erro dessa aproximação se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é interpolação linear. Basicamente, quando a gente tem uma tabela de valores da função, a interpolação linear nos permite estimar valores intermediários entre dois pontos conhecidos da tabela. A ideia é traçar uma reta entre os dois pontos mais próximos e usar essa reta para estimar o valor desejado.
Mas, claro, essa aproximação não é perfeita. Sempre terá um erro, e esse erro depende do espaçamento
dos pontos na tabela e da curvatura da função que estamos interpolando. No nosso caso, a função é
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o erro na interpolação linear. O erro máximo da interpolação linear é dado por:
Onde:
-
é o espaçamento entre os pontos da tabela. -
é a segunda derivada da função .
Calculando a segunda derivada de
:
Para
, o valor máximo de
é 1 (quando
). Então, nosso erro máximo fica:
Aqui, usamos
porque queremos que o erro seja menor que meio da última casa decimal para garantir que as três primeiras casas sejam corretas.
Resolvendo para
:
Arredondando para três casas decimais, temos
.
Resposta
O valor de
deve ser aproximadamente
para garantir três casas decimais corretas na interpolação linear de
para
.
Exercícios relacionados
Mostre que a interpolação de um polinômio de grau
sobre
pontos,
, é exata. (Dica: use a fórmula para o erro de interpolação).
Dada a função
e a tabela:
|
2.25 | 2.5 | 2.75 |
---|---|---|---|
|
6.930 | 8.726 | 10.87 |
(a) Calcular o polinômio de interpolação sobre 3 pontos usando a forma de Newton.
Dada a função tabelada:
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0 | 1 | 1.5 | 2.5 | 3.0 |
---|---|---|---|---|---|
|
1.0 | 0.5 | 0.4 | 0.286 | 0.25 |
(a) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre dois pontos (interpolação linear). (Use os pontos mais próximos de
)
Seja a função tabelada:
|
-2 | -1 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|
|
0 | 1 | -1 | 0 |
(a) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton.