Determinar partial fpartial x e partial fpartial y para cada uma das funçöes seguintes:
lll a) f(x, y)=integralx^y cos t d t & b) f(x, y)=integralx^y e^-t^2 d t & c) f(x, y)=integral0^2 x+y(cos v-sen v) d v

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que precisa ser feito! Temos três funções definidas como integrais e precisamos encontrar as derivadas parciais de cada função em relação a e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e derivadas parciais, aplicando principalmente a regra fundamental do cálculo.

Passo 2

Parte a)
A função dada é:
f(x, y) = integralx^y cos t , dt
Para encontrar partialpartial x integrala(x)^b(x) g(t) , dt = g(b(x)) cdot dbdx - g(a(x)) cdot dadx e partial fpartial x = -cos x , usamos a regra fundamental do cálculo, que nos diz que:
partial fpartial y = cos y
No caso de :
  • Quando derivamos em relação a :
    (O sinal negativo vem porque é o limite inferior da integral.)
  • Quando derivamos em relação a :

Passo 3

Parte b)
A função dada é:
f(x, y) = integralx^y e^-t^2 , dt
Aplicando a mesma regra fundamental do cálculo:
  • Derivando em relação a partial fpartial x = -e^-x^2 :
    partial fpartial y = e^-y^2
  • Derivando em relação a :

Passo 4

Parte c)
A função dada é:
Aqui, o limite superior da integral depende de f(x, y) = integral0^2x + y (cos v - sen v) , dv e partial fpartial x = (cos(2x + y) - sen(2x + y)) cdot 2 , então usamos a regra da cadeia juntamente com a regra fundamental do cálculo.
  • Derivando em relação a partial fpartial y = (cos(2x + y) - sen(2x + y)) cdot 1 :
    (Multiplicamos pela derivada do limite superior em relação a , que é 2.)
  • Derivando em relação a :
    (Aqui, a derivada do limite superior em relação a é 1.)

Resposta

As derivadas parciais são:
a)
partial fpartial x = -cos x e partial fpartial y = cos y
b)
partial fpartial x = -e^-x^2 e partial fpartial y = e^-y^2
c)

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