Dada a função: f(x,y)=x³y²+2x²y³-6x-10y+√10, calcule a derivada parcial de segunda ordem “fxx” e assinale a alternativa correta:
A. fxx=6xy²+4y³,
B. fxx=3x²y²+4xy³-6,
C. fxx=2x³y12x²y,
D. fxx=2x³y+6x²y²-10,
E. fxx=6x²+12xy².

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a segunda derivada parcial de segunda ordem em relação a $ x $ da função $ f(x, y) = x3y2 + 2x2y3 - 6x - 10y + \sqrt{10} $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, precisamos entender como calcular derivadas parciais e depois aplicar esse conhecimento duas vezes para obter a derivada de segunda ordem $ f_{xx} $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que chamamos de $ f_x $. Isso significa que vamos derivar $ f $ em relação a $ x $, tratando $ y $ como uma constante.
A derivada de $ x3y2 $ em relação a $ x $ é $ 3x2y2 $ porque trazemos o expoente 3 para frente e diminuímos o expoente de $ x $ em 1.
A derivada de $ 2x2y3 $ em relação a $ x $ é $ 4xy^3 $ seguindo a mesma regra.
A derivada de $ -6x $ em relação a $ x $ é $ -6 $.
Os termos $ -10y $ e $ \sqrt{10} $ não dependem de $ x $, então suas derivadas em relação a $ x $ são 0.
Então, $ f_x = 3x2y2 + 4xy^3 - 6 $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial, $ f_{xx} $, derivando $ f_x $ em relação a $ x $ novamente.
A derivada de $ 3x2y2 $ em relação a $ x $ é $ 6xy^2 $.
A derivada de $ 4xy^3 $ em relação a $ x $ é $ 4y^3 $.
A derivada de $ -6 $ em relação a $ x $ é 0.
Então, $ f_{xx} = 6xy^2 + 4y^3 $.

Resposta

A alternativa correta é:
A. $ f_{xx} = 6xy² + 4y³ $

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