Obtenha a carga q(t) sobre um capacitor em um circuito elétrico em série rlc quando l = 1, r = 6, c = 1/9, e9t) = 0, q(0) = q0 e i(0) = 0. utilize a edo obtida pela 2ª lei de kirchoff
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a carga $ q(t) $ em um capacitor de um circuito RLC em série, onde temos os valores de $ L = 1 $, $ R = 6 $, e $ C = \frac{1}{9} $. Além disso, diz que a força eletromotriz $ E(t) = 0 $, com as condições iniciais $ q(0) = q_0 $ e $ i(0) = 0 $. A gente vai usar a segunda lei de Kirchhoff, que basicamente nos ajuda a montar a equação diferencial que descreve o circuito. Vamos precisar entender um pouco de equações diferenciais e como elas se aplicam em circuitos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Kirchhoff no circuito RLC em série. Essa lei diz que a soma das quedas de tensão nos componentes do circuito é igual à força eletromotriz fornecida. Nesse caso, como $ E(t) = 0 $, temos:
Aqui, $ L $ é a indutância, $ R $ é a resistência, $ C $ é a capacitância, $ i(t) $ é a corrente elétrica e $ q(t) $ é a carga no capacitor.
Passo 3
Sabemos que a corrente $ i(t) $ é a derivada da carga em relação ao tempo, ou seja, $ i(t) = \frac{dq(t)}{dt} $. Vamos substituir isso na equação:
Agora, temos uma equação diferencial de segunda ordem para $ q(t) $.
Passo 4
Vamos substituir os valores dados: $ L = 1 $, $ R = 6 $, e $ C = \frac{1}{9} $:
Simplificando:
Essa é uma equação diferencial homogênea com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica associada:
Resolvendo o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos duas raízes reais e iguais:
Passo 5
Com raízes reais e iguais, a solução da equação diferencial é:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de $ A $ e $ B $.
Primeiro, para $ t = 0 $:
Então, $ A = q_0 $.
Agora, derivamos $ q(t) $ para encontrar $ i(t) = \frac{dq(t)}{dt} $:
Simplificando:
Aplicando a condição $ i(0) = 0 $:
Resposta
A carga no capacitor em função do tempo é: