Dada a função y = x^2 / (x - 3). Determine: Determine à concavidade e os pontos de inflexão;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a concavidade e os pontos de inflexão da função . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender como a curva da função se comporta em termos de concavidade e possíveis pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a segunda derivada da função . Para isso, vamos começar calculando a primeira derivada .
A função dada é:
Usaremos a regra do quociente para encontrar :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada a partir de :
Aplicando novamente a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:

Passo 4

Com a segunda derivada encontrada, vamos analisar o sinal de para determinar a concavidade:
  • Para :
    • O denominador é negativo, então .
    • Isso significa que a função é côncava para baixo nesse intervalo.
  • Para :
    • O denominador é positivo, então .
    • Isso indica que a função é côncava para cima nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos verificar os pontos de inflexão, que ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde ou não está definida.
Analisando :
  • nunca é igual a zero, pois o numerador é sempre 18.
  • está indefinida em , mas nesse ponto a função original também não está definida (há uma assíntota vertical).
Como não há um ponto no domínio da função onde a concavidade muda de forma contínua, não há pontos de inflexão na função.

Resposta

A função é côncava para baixo quando e côncava para cima quando . Não possui pontos de inflexão.

Exercícios relacionados