Dada a função
. Determine: Determine à concavidade e os pontos de inflexão;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a concavidade e os pontos de inflexão da função
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender como a curva da função se comporta em termos de concavidade e possíveis pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a segunda derivada da função
. Para isso, vamos começar calculando a primeira derivada
.
A função dada é:
Usaremos a regra do quociente para encontrar
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
a partir de
:
Aplicando novamente a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Passo 4
Com a segunda derivada encontrada, vamos analisar o sinal de
para determinar a concavidade:
-
Para
: - O denominador
é negativo, então . - Isso significa que a função é côncava para baixo nesse intervalo.
- O denominador
-
Para
: - O denominador
é positivo, então . - Isso indica que a função é côncava para cima nesse intervalo.
- O denominador
Passo 5
Agora, vamos verificar os pontos de inflexão, que ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde
ou
não está definida.
Analisando
:
-
nunca é igual a zero, pois o numerador é sempre 18. -
está indefinida em , mas nesse ponto a função original também não está definida (há uma assíntota vertical).
Como não há um ponto no domínio da função onde a concavidade muda de forma contínua, não há pontos de inflexão na função.
Resposta
A função
é côncava para baixo quando
e côncava para cima quando
. Não possui pontos de inflexão.
Exercícios relacionados
Dada a função
. Determine: Encontre os pontos críticos, estude o crescimento e decrescimento da função e encontre os máximos e mínimos relativos;
Seja
. Encontre a taxa de variação de
em relação a
, quando
.
Calcule o limite, se existir.
so nâo exista, explique por quê.
so nâo exista, explique por quê.
Determine os valores da variável independente nos quais a função dada é descontínua.