Dada a função y = x^2 / (x - 3). Determine: Encontre os pontos críticos, estude o crescimento e decrescimento da função e encontre os máximos e mínimos relativos;

Passo 1

Beleza! A gente tem a função e precisa encontrar os pontos críticos, analisar onde a função está crescendo ou decrescendo e identificar os máximos e mínimos relativos. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função em relação a . A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, onde ela está aumentando ou diminuindo.
Usamos a regra do quociente:

Passo 3

Agora, encontramos os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe.
Primeiro, vamos igualar a zero:
Então, ou .
Além disso, a derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, . Mas não está no domínio da função original, então ignoramos.
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos analisar o crescimento e decrescimento da função usando a derivada.
Escolhemos intervalos em torno dos pontos críticos:
Analisando o sinal de em cada intervalo:
  1. : Escolha :
Então, a função está crescendo.
  1. : Escolha :
Então, a função está decrescendo.
  1. : Escolha :
Então, a função está decrescendo.
  1. : Escolha :
Então, a função está crescendo.

Passo 5

Agora, vamos identificar os máximos e mínimos relativos usando os pontos críticos e o comportamento da função:
  • Em :
    • Antes de , a função estava crescendo.
    • Depois de , a função está decrescendo.
    • Isso indica um máximo relativo em .
  • Em :
    • Antes de , a função estava decrescendo.
    • Depois de , a função está crescendo.
    • Isso indica um mínimo relativo em .
Para encontrar os valores de nesses pontos:
  • Em :
Então, o máximo relativo é .
  • Em :
Então, o mínimo relativo é .

Resposta

Os pontos críticos são e . A função está crescendo em e , e decrescendo em . Há um máximo relativo em e um mínimo relativo em .

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