Dada a função
. Determine: Encontre os pontos críticos, estude o crescimento e decrescimento da função e encontre os máximos e mínimos relativos;
Passo 1
Beleza! A gente tem a função
e precisa encontrar os pontos críticos, analisar onde a função está crescendo ou decrescendo e identificar os máximos e mínimos relativos. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função
em relação a
. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, onde ela está aumentando ou diminuindo.
Usamos a regra do quociente:
Passo 3
Agora, encontramos os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe.
Primeiro, vamos igualar
a zero:
Então,
ou
.
Além disso, a derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja,
. Mas
não está no domínio da função original, então ignoramos.
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos analisar o crescimento e decrescimento da função usando a derivada.
Escolhemos intervalos em torno dos pontos críticos:
Analisando o sinal de
em cada intervalo:
-
: Escolha :
Então, a função está crescendo.
-
: Escolha :
Então, a função está decrescendo.
-
: Escolha :
Então, a função está decrescendo.
-
: Escolha :
Então, a função está crescendo.
Passo 5
Agora, vamos identificar os máximos e mínimos relativos usando os pontos críticos e o comportamento da função:
-
Em
: - Antes de
, a função estava crescendo. - Depois de
, a função está decrescendo. - Isso indica um máximo relativo em
.
- Antes de
-
Em
: - Antes de
, a função estava decrescendo. - Depois de
, a função está crescendo. - Isso indica um mínimo relativo em
.
- Antes de
Para encontrar os valores de
nesses pontos:
- Em
:
Então, o máximo relativo é
.
- Em
:
Então, o mínimo relativo é
.
Resposta
Os pontos críticos são
e
. A função está crescendo em
e
, e decrescendo em
. Há um máximo relativo em
e um mínimo relativo em
.
Exercícios relacionados
Seja
. Encontre a taxa de variação de
em relação a
, quando
.
Determine os valores da variável independente nos quais a função dada é descontínua.
Dada a função
. Determine: Determine à concavidade e os pontos de inflexão;
Calcule o limite, se existir.
so nâo exista, explique por quê.
so nâo exista, explique por quê.