Determine os valores da variável independente nos quais a função dada é descontínua.
h(x) = (x^2 - 4) / (x^4 - 16)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os valores da variável independente nos quais a função dada é descontínua. A função que estamos analisando é:
Para isso, vamos utilizar conceitos de funções racionais e discontinuidades, especificamente identificando onde o denominador da função é igual a zero, pois nesses pontos a função pode ser descontínua.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde o denominador da função se torna zero, já que divisão por zero não é definida. O denominador da função é:
Vamos resolver a equação:
Portanto, o denominador é zero nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se nesses pontos o numerador também é zero, o que indicaria uma descontinuidade removível (também conhecida como ponto removível). O numerador da função é:
Vamos resolver:
Então, o numerador também é zero nos mesmos pontos e .

Passo 4

Como tanto o numerador quanto o denominador são zero nesses pontos, podemos simplificar a função para verificar se a descontinuidade pode ser removida. Vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador:
A função simplificada está bem definida para todos os valores de , exceto nos pontos e , onde originalmente tinha indeterminação.

Passo 5

Como conseguimos simplificar a função e o limite existe nesses pontos, as descontinuidades em e são descontinuidades removíveis. Isso significa que, matematicamente, poderíamos redefinir a função nesses pontos para torná-la contínua, mas conforme a definição original, a função está descontínua nesses valores.

Resposta

A função é descontínua nos valores e .

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