Dada a função y(x) = 2 * e^(-x) + x * e^(-x) e k constantes arbitrárias. Verifique se y satisfaz a EDO y'' + 2y' + y = 0.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função e a gente precisa verificar se essa função satisfaz a equação diferencial ordinária (EDO) . Básicamente, vamos usar cálculo para encontrar as derivadas de e ver se, ao substituir na EDO, a equação se iguala a zero. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas de funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que é . Para isso, usamos a regra da derivada de uma soma e a regra do produto:
Derivando cada termo:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, . Mais uma vez, aplicamos a regra da derivada:
Derivando cada termo:
Então,

Passo 4

Agora que temos , e , vamos substituir na EDO e ver se o resultado é zero:
Vamos simplificar termo a termo:
Agora, somando os termos semelhantes:

Resposta

Sim, a função satisfaz a equação diferencial .

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