Expresse a soluçalo do problema de valor inicial
termos de
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
com a condição inicial
. Vamos utilizar o conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem e fator integrante para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada pela equação diferencial, torna o lado esquerdo da equação uma derivada de um produto. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em rela��ão a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
A integral
não tem uma solução elemental, então a deixamos em termos de funções conhecidas ou como uma integral definida.
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Como
, temos:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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A seguir escolha a única EDO Não-linear e justifique a não linearidade da EDO:
;
A seguir escolha a única EDO Não-linear e justifique a não linearidade da EDO:
;
Dada a função
e
constantes arbitrárias. Verifique se
satisfaz a EDO
.