Expresse a soluçalo do problema de valor inicial termos de .

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial com a condição inicial . Vamos utilizar o conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem e fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada pela equação diferencial, torna o lado esquerdo da equação uma derivada de um produto. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em rela��ão a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :
A integral não tem uma solução elemental, então a deixamos em termos de funções conhecidas ou como uma integral definida.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Como , temos:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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A seguir escolha a única EDO Não-linear e justifique a não linearidade da EDO: ;
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Dada a função e constantes arbitrárias. Verifique se satisfaz a EDO .