Nos problemas 25-30, resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial para resolver uma equação diferencial de primeira ordem. A equação que nos deram é:
Então, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Basicamente, a gente vai encontrar uma função que satisfaz essa equação e passa pelo ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para deixar na forma padrão de uma equação linear. A equação dada é:
Vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :
Agora, a equação está na forma padrão , onde:

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
No nosso caso:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, a esquerda da equação se torna a derivada do produto :

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar . Substituímos e na equação:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
O maior intervalo onde a solução está definida é , já que dividimos por durante a resolução.

Exercícios relacionados

Reduza à forma cada uma das seguintes expressões: .
Dada a função e constantes arbitrárias. Verifique se satisfaz a EDO .
Reduza à forma cada uma das seguintes expressões: .
Escreva na forma polar, na forma e represente no plano complexo os pontos , onde: e .