Nos problemas 25-30, resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial para resolver uma equação diferencial de primeira ordem. A equação que nos deram é:
Então, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Basicamente, a gente vai encontrar uma função
que satisfaz essa equação e passa pelo ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para deixar na forma padrão de uma equação linear. A equação dada é:
Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, a equação está na forma padrão
, onde:
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
No nosso caso:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, a esquerda da equação se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Usamos a condição inicial
para encontrar
. Substituímos
e
na equação:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
O maior intervalo
onde a solução está definida é
, já que dividimos por
durante a resolução.
Exercícios relacionados
Reduza à forma
cada uma das seguintes expressões:
.
Dada a função
e
constantes arbitrárias. Verifique se
satisfaz a EDO
.
Reduza à forma
cada uma das seguintes expressões:
.
Escreva na forma polar, na forma
e represente no plano complexo os pontos
, onde:
e
.