Dada
, determine o domínio e a imagem de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos a função
e precisamos encontrar o domínio e a imagem dessa função. Para isso, vamos precisar saber sobre funções logarítmicas e considerar quando elas são definidas.
Passo 2
Vamos começar determinando o domínio da função, ou seja, todos os pares
para os quais
está definida. A função envolve um logaritmo natural,
, e sabemos que o logaritmo só está definido quando seu argumento é maior que zero. Então, precisamos que:
Além disso, a parte
está definida para todo número real de
.
Passo 3
Portanto, o domínio de
é o conjunto de todos os
reais onde
. Em notação matemática, podemos escrever:
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem da função
, ou seja, todos os valores que
pode assumir. Primeiro, analisamos os componentes da função:
-
é sempre maior ou igual a zero, já que qualquer número ao quadrado é não negativo. -
pode ser qualquer número real, positivo ou negativo, dependendo de .
Passo 5
Como
é não negativo e
pode ser positivo ou negativo, o produto
pode assumir qualquer valor real. Por exemplo:
- Se
e , então , que pode ser qualquer número real. - Se
, , mas já temos casos onde pode ser positivo ou negativo.
Passo 6
Assim, a imagem de
é todo o conjunto dos números reais, ou seja:
Resposta
Domínio de
:
Imagem de
:
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Esboce a curva polar
2. .
2.
Determine uma equação vetorial e as equações paramétricas do segmento de reta que liga P a Q .
Determine e esboce o domínio da função.
2. ;
2.
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.