Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso faz parte da matéria de séries numéricas, especificamente trabalhando com testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender sobre convergência absoluta, convergência condicional e aplicar alguns testes de convergência como o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e condicional. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dela converge. Ou seja, se converge, então a série original também converge absolutamente.
Já a série é condicionalmente convergente se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
Se nem a série original nem a série dos valores absolutos convergirem, então a série diverge.
Passo 3
Vamos começar verificando a convergência absoluta da série. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
Passo 4
Agora, para verificar se essa série converge, vamos aplicar o Teste da Razão, que é útil para séries com termos envolvendo fatoriais. O Teste da Razão diz que, se:
Como a série dos valores absolutos diverge, sabemos que a série original não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente.
Passo 8
A série original é uma série alternada:
sumn=1^infty (-1)^n-1 n!2^n+1
Aplicamos o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma converge se:
para todo .
.
é uma sequência decrescente.
No nosso caso, .
Passo 9
Vamos verificar os critérios:
para todo , ok.
, pois cresce muito mais rápido que .
A sequência não é decrescente, na verdade está aumentando.
Como o segundo critério falha (), a série não converge.