Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 n!2^n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso faz parte da matéria de séries numéricas, especificamente trabalhando com testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender sobre convergência absoluta, convergência condicional e aplicar alguns testes de convergência como o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e condicional. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dela converge. Ou seja, se converge, então a série original também converge absolutamente.
Já a série é condicionalmente convergente se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
Se nem a série original nem a série dos valores absolutos convergirem, então a série diverge.

Passo 3

Vamos começar verificando a convergência absoluta da série. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n-1 n!2^n+1 | = sumn=1^infty n!2^n+1

Passo 4

Agora, para verificar se essa série converge, vamos aplicar o Teste da Razão, que é útil para séries com termos envolvendo fatoriais. O Teste da Razão diz que, se:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão à nossa série:
an = n!2^n+1
Calculamos an+1 = (n+1)!2^(n+1)+1 = (n+1) cdot n!2^n+2 :
| (n+1) cdot n!2^n+2 cdot 2^n+1n! | = n+12
Agora, fica:

Passo 6

Calculamos o limite:
L = limn to infty n+12 = infty
Como , pelo Teste da Razão, a série diverge.

Passo 7

Como a série dos valores absolutos diverge, sabemos que a série original não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente.

Passo 8

A série original é uma série alternada:
sumn=1^infty (-1)^n-1 n!2^n+1
Aplicamos o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma converge se:
  1. para todo .
  2. .
  3. é uma sequência decrescente.
No nosso caso, .

Passo 9

Vamos verificar os critérios:
  1. para todo , ok.
  2. , pois cresce muito mais rápido que .
  3. A sequência não é decrescente, na verdade está aumentando.
Como o segundo critério falha ( ), a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 3^nn!
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 n^2+1n^3