Determine e esboce o domínio da função.
2.
;
2.
Passo 1
Vamos lá! Temos que determinar e esboçar o domínio da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e, mais especificamente, às funções logarítmicas. Para descobrir o domínio, precisamos identificar todos os valores de
e
que fazem a função estar bem definida.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que o logaritmo natural,
, só está definido quando o seu argumento
é maior que zero. Ou seja, para que
exista, o que está dentro do logaritmo deve ser positivo:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de
e
que satisfazem essa condição. Vamos reorganizar a expressão:
Passo 4
Para simplificar ainda mais, dividimos todos os termos por 4:
Essa é a equação padrão de uma elipse centrada na origem, onde o semieixo maior tem comprimento 2 (na direção
) e o semieixo menor tem comprimento 1 (na direção
).
Passo 5
Então, o domínio da função
consiste em todos os pares
que estão dentro dessa elipse. Geometricamente, isso significa que qualquer ponto dentro da elipse satisfaz a condição
, garantindo que o logaritmo esteja definido.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem a desigualdade:
Isso representa todos os pontos dentro da elipse centrada na origem com semieixos de comprimento 1 na direção
e 2 na direção
.
Exercícios relacionados
Dada
, determine o domínio e a imagem de
.
Esboce a curva polar
2. .
2.
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.