Determine e esboce o domínio da função.
2. g(x, y) = ln(4) - 4*x^2 - y^2;

Passo 1

Vamos lá! Temos que determinar e esboçar o domínio da função . Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e, mais especificamente, às funções logarítmicas. Para descobrir o domínio, precisamos identificar todos os valores de e que fazem a função estar bem definida.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que o logaritmo natural, , só está definido quando o seu argumento é maior que zero. Ou seja, para que exista, o que está dentro do logaritmo deve ser positivo:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de e que satisfazem essa condição. Vamos reorganizar a expressão:

Passo 4

Para simplificar ainda mais, dividimos todos os termos por 4:
Essa é a equação padrão de uma elipse centrada na origem, onde o semieixo maior tem comprimento 2 (na direção ) e o semieixo menor tem comprimento 1 (na direção ).

Passo 5

Então, o domínio da função consiste em todos os pares que estão dentro dessa elipse. Geometricamente, isso significa que qualquer ponto dentro da elipse satisfaz a condição , garantindo que o logaritmo esteja definido.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a desigualdade:
Isso representa todos os pontos dentro da elipse centrada na origem com semieixos de comprimento 1 na direção e 2 na direção .

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