Dada a hélice logarítmica parametrizada pela função
, definida por
Calcule a curvatura de
e a torção de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema! A gente tem uma curva no espaço, chamada hélice logarítmica, que é definida pela função vetorial , onde
varia de 0 ao infinito. Nosso objetivo aqui é calcular duas coisas: a curvatura e a torção dessa curva. Para isso, vai ser preciso usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais, produto vetorial e norma de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
. A primeira derivada,
, nos dá a velocidade da curva.
Calculando cada componente:
Então,
Passo 3
Agora, vamos achar a segunda derivada,
, que nos dá a aceleração da curva.
Calculando cada componente:
Então,
Passo 4
Para encontrar a curvatura
, usamos a fórmula:
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial
.
Calculando o determinante:
Simplificando:
Sabendo que :
Agora, vamos calcular a norma desse vetor:
Simplificando:
Então,
Agora, vamos calcular
:
Então,
Agora, a curvatura:
Passo 5
Agora vamos calcular a torção
. A fórmula para a torção é:
Primeiro, precisamos encontrar a terceira derivada
.
Calculando cada componente:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
.
Já sabemos que:
E
O produto escalar é:
Simplificando cada termo:
Usando a identidade
:
Simplificando:
Então,
Passo 7
Agora, vamos calcular a torção
:
Simplificando mais:
Resposta
A curvatura da curva
é:
E a torção da curva
é: