Dada a hélice logarítmica parametrizada pela função , definida por
Calcule a curvatura de e a torção de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema! A gente tem uma curva no espaço, chamada hélice logarítmica, que é definida pela função vetorial , onde varia de 0 ao infinito. Nosso objetivo aqui é calcular duas coisas: a curvatura e a torção dessa curva. Para isso, vai ser preciso usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais, produto vetorial e norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a . A primeira derivada, , nos dá a velocidade da curva.
Calculando cada componente:
Então,

Passo 3

Agora, vamos achar a segunda derivada, , que nos dá a aceleração da curva.
Calculando cada componente:
Então,

Passo 4

Para encontrar a curvatura , usamos a fórmula:
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial .
Calculando o determinante:
Simplificando:
Sabendo que :
Agora, vamos calcular a norma desse vetor:
Simplificando:
Então,
Agora, vamos calcular :
Então,
Agora, a curvatura:

Passo 5

Agora vamos calcular a torção . A fórmula para a torção é:
Primeiro, precisamos encontrar a terceira derivada .
Calculando cada componente:
Então,

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar .
Já sabemos que:
E
O produto escalar é:
Simplificando cada termo:
Usando a identidade :
Simplificando:
Então,

Passo 7

Agora, vamos calcular a torção :
Simplificando mais:

Resposta

A curvatura da curva é:
E a torção da curva é:

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