O valume
de um cone linculor údrado por
, onde Sí o cemprimento da bose.
a) Encortre a tosca instontannea de vorisereo do Valume em relociso à geratriz se o diametro i montido Constonte com Valor de
, enquento a gerotriz
SVoria. celcule ussa tosea de vorioceo no instants em que
.
a) Encortre a tosca instontannea de vorisereo do Valume em relociso à geratriz se o diametro i montido Constonte com Valor de
SVoria. celcule ussa tosea de vorioceo no instants em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o volume
de um cone, que é dado pela fórmula
. Aqui,
representa o diâmetro da base do cone, e
é a geratriz (a “barriguinha” do cone). A gente precisa encontrar a taxa de variação do volume em relação à geratriz
quando o diâmetro
é constante e vale 16 cm, especialmente quando
cm. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a fórmula do volume para facilitar a derivação:
Como
cm é constante, vamos substituir esse valor na fórmula:
Calculando
:
Podemos simplificar:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a taxa de variação do volume em relação à geratriz
, ou seja,
. Vamos derivar
em relação a
:
Aqui usamos a regra da cadeia para derivar a raiz quadrada.
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, vamos calcular
quando
cm:
Primeiro, substituímos
na expressão:
Calculando
:
Resposta
A taxa de variação do volume em relação à geratriz quando
cm é
.