O valume de um cone linculor údrado por , onde Sí o cemprimento da bose.
a) Encortre a tosca instontannea de vorisereo do Valume em relociso à geratriz se o diametro i montido Constonte com Valor de , enquento a gerotriz
SVoria. celcule ussa tosea de vorioceo no instants em que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o volume de um cone, que é dado pela fórmula . Aqui, representa o diâmetro da base do cone, e é a geratriz (a “barriguinha” do cone). A gente precisa encontrar a taxa de variação do volume em relação à geratriz quando o diâmetro é constante e vale 16 cm, especialmente quando cm. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a derivada de em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a fórmula do volume para facilitar a derivação:
Como cm é constante, vamos substituir esse valor na fórmula:
Calculando :
Podemos simplificar:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a taxa de variação do volume em relação à geratriz , ou seja, . Vamos derivar em relação a :
Aqui usamos a regra da cadeia para derivar a raiz quadrada.
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, vamos calcular quando cm:
Primeiro, substituímos na expressão:
Calculando :
Resposta
A taxa de variação do volume em relação à geratriz quando cm é .