Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das superfícies x^2 + y^2 + 4z^2 = 4, y ≥ 0, e o cilindro x^2 + z^2 = 1. Além disso, esboce o traço da curva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de geometria analítica que pede pra gente encontrar uma função vetorial que descreve a curva formada pela intersecção de duas superfícies: a elipsoide com a restrição y ≥ 0, e o cilindro x^2 + z^2 = 1. Além disso, queremos esboçar como essa curva fica no espaço. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para encontrar as equações paramétricas da curva de interseção e depois visualizar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o cilindro . Esse cilindro tem raio 1 e está alinhado no eixo y, ou seja, se estende infinitamente ao longo de y. Podemos parametrizar esse cilindro usando um parâmetro theta, onde:
Aqui, theta varia de 0 a para cobrir toda a circunferência.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o valor de y que satisfaz ambas as equações. Vamos substituir x e z da parametrização do cilindro na equação da elipsoide:
Simplificando:
Sabemos que , então podemos reescrever:
Isolando y^2:
Então, temos:
Como a condição é y ≥ 0, não precisamos nos preocupar com a parte negativa da raiz.

Passo 4

Agora, juntando tudo, nossa função vetorial que descreve a curva de interseção é:
Onde theta varia de 0 a .

Passo 5

Para esboçar o traço da curva, imagine um cilindro circular de raio 1 estendendo-se ao longo do eixo y. A interseção com a elipsoide resulta em uma curva que oscila em y conforme theta varia. A função vetorial mostra que à medida que theta aumenta, x e z percorrem o círculo do cilindro, enquanto y oscila entre raiz(3) e , mas como temos y ≥ 0, a curva fica na parte superior do cilindro.

Resposta

A função vetorial que representa a curva de interseção é:

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