Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das superfícies , e o cilindro . Além disso, esboce o traço da curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de geometria analítica que pede pra gente encontrar uma função vetorial que descreve a curva formada pela intersecção de duas superfícies: a elipsoide com a restrição , e o cilindro . Além disso, queremos esboçar como essa curva fica no espaço. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para encontrar as equações paramétricas da curva de interseção e depois visualizar.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o cilindro . Esse cilindro tem raio 1 e está alinhado no eixo y, ou seja, se estende infinitamente ao longo de y. Podemos parametrizar esse cilindro usando um parâmetro , onde:
Aqui, varia de a para cobrir toda a circunferência.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o valor de que satisfaz ambas as equações. Vamos substituir e da parametrização do cilindro na equação da elipsoide:
Simplificando:
Sabemos que , então podemos reescrever:
Isolando :
Então, temos:
Como a condição é , não precisamos nos preocupar com a parte negativa da raiz.
Passo 4
Agora, juntando tudo, nossa função vetorial que descreve a curva de interseção é:
Onde varia de a .
Passo 5
Para esboçar o traço da curva, imagine um cilindro circular de raio 1 estendendo-se ao longo do eixo y. A interseção com a elipsoide resulta em uma curva que oscila em y conforme varia. A função vetorial mostra que à medida que aumenta, e percorrem o círculo do cilindro, enquanto oscila entre e , mas como temos , a curva fica na parte superior do cilindro.
Resposta
A função vetorial que representa a curva de interseção é: