Suponha que é uma função diferenciável de uma variável. Mostre que todos os planos tangentes à superfície se intersectam em um ponto comum.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que todos os planos tangentes à superfície dada por se encontram em um ponto comum. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre derivadas parciais e equações de planos tangentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso é essencial para determinar a inclinação da superfície em qualquer ponto dado.
Vamos definir , assim .
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 3

Com as derivadas parciais em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente à superfície no ponto :
Substituindo , temos:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar essa equação para identificar se há um ponto comum de interseção para todos esses planos tangentes.
Simplificando a equação:
Observamos que, independente dos valores de e , o termo constante parece se anular, indicando que todos os planos passam por um ponto fixo.

Passo 5

Para encontrar esse ponto comum, consideramos que todos os planos tangentes passam por ele, então vamos igualar as equações dos planos para dois pontos diferentes e resolver as coordenadas do ponto de interseção comum.
Após fazer os cálculos, percebemos que o ponto de interseção é .

Resposta

Todos os planos tangentes à superfície se intersectam no ponto comum .

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