Determine os valores das constantes a, b e c tais que a derivada direcional de f: R^3 -> R, definida por
f(x, y, z) = a * x * y^2 + b * y * z + c * z^2 * x^3
no ponto (1, 2, -1) tem um valor máximo de 64 na direção paralela ao eixo O z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e queremos encontrar os valores das constantes , e de modo que a derivada direcional dessa função no ponto tenha um valor máximo de 64 na direção paralela ao eixo . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto é basicamente o quanto a função muda naquela direção específica. Ela é calculada usando o gradiente da função nesse ponto e o vetor que representa a direção.

Passo 3

O gradiente de , representado por , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável. Então, vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

A derivada direcional na direção do eixo é equivalente a pegar a derivada parcial em , já que a direção é paralela a . Então, a derivada direcional é:
Queremos que isso seja igual a 64:
çã

Passo 6

Além disso, para que essa derivada direcional seja o máximo possível, o gradiente deve estar alinhado com a direção do eixo . Isso significa que as componentes nas direções e do gradiente devem ser zero:
çã
çã

Passo 7

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
Da Equação 3:
Da Equação 2:
Substituindo e na Equação 1:

Passo 8

Agora que temos , vamos encontrar e :

Resposta

Os valores das constantes são , e .

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