Determine os valores das constantes e tais que a derivada direcional de , definida por
no ponto tem um valor máximo de 64 na direção paralela ao eixo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e queremos encontrar os valores das constantes , e de modo que a derivada direcional dessa função no ponto tenha um valor máximo de 64 na direção paralela ao eixo . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto é basicamente o quanto a função muda naquela direção específica. Ela é calculada usando o gradiente da função nesse ponto e o vetor que representa a direção.
Passo 3
O gradiente de , representado por , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável. Então, vamos calcular as derivadas parciais de :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Passo 5
A derivada direcional na direção do eixo é equivalente a pegar a derivada parcial em , já que a direção é paralela a . Então, a derivada direcional é:
Queremos que isso seja igual a 64:
çã
Passo 6
Além disso, para que essa derivada direcional seja o máximo possível, o gradiente deve estar alinhado com a direção do eixo . Isso significa que as componentes nas direções e do gradiente devem ser zero: