Determine uma transformação linear T: wp2 wp2 tal que T(x^2)=2 x^2+x, T(x)=1-x^2 e T(1)=x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar uma transformação linear que vai de para . Isso significa que pega polinômios de até grau 2 e transforma em outros polinômios também de até grau 2. A gente vai precisar usar as propriedades das transformações lineares e as informações que foram dadas sobre como age em alguns polinômios específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que p(x) = a x^2 + b x + c é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2. Então, um polinômio qualquer nesse espaço pode ser escrito como:
onde , e são constantes reais.

Passo 3

Como T(p(x)) = T(a x^2 + b x + c) = a T(x^2) + b T(x) + c T(1) é uma transformação linear, ela respeita a adição e a multiplicação por escalar. Isso quer dizer que:
Aqui, usamos a propriedade de linearidade para separar nas partes que a gente já conhece.

Passo 4

Agora, vamos substituir pelos valores que o exercício nos deu:
T(x^2) = 2 x^2 + x
T(x) = 1 - x^2
T(1) = x
Então, substituindo na expressão anterior:
T(p(x)) = a (2 x^2 + x) + b (1 - x^2) + c (x)

Passo 5

Vamos distribuir os coeficientes:
T(p(x)) = 2a x^2 + a x + b cdot 1 - b x^2 + c x
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
T(p(x)) = (2a - b) x^2 + (a + c) x + b

Resposta

A transformação linear T(a x^2 + b x + c) = (2a - b) x^2 + (a + c) x + b é dada por:

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