Determine uma transformação linear tal que e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar uma transformação linear que vai de para . Isso significa que pega polinômios de até grau 2 e transforma em outros polinômios também de até grau 2. A gente vai precisar usar as propriedades das transformações lineares e as informações que foram dadas sobre como age em alguns polinômios específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2. Então, um polinômio qualquer nesse espaço pode ser escrito como:
onde , e são constantes reais.

Passo 3

Como é uma transformação linear, ela respeita a adição e a multiplicação por escalar. Isso quer dizer que:
Aqui, usamos a propriedade de linearidade para separar nas partes que a gente já conhece.

Passo 4

Agora, vamos substituir pelos valores que o exercício nos deu:
Então, substituindo na expressão anterior:

Passo 5

Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:

Resposta

A transformação linear é dada por:

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Determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(d)
Verifique quais das aplicações abaixo são lineares:
Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)
Dada a hipérbole definida pela equação , determine:
a) A distância entre os vértices
b) A equação das assintotas
c) Um esboço do gráfico