Determine uma transformação linear
tal que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar uma transformação linear
que vai de
para
. Isso significa que
pega polinômios de até grau 2 e transforma em outros polinômios também de até grau 2. A gente vai precisar usar as propriedades das transformações lineares e as informações que foram dadas sobre como
age em alguns polinômios específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2. Então, um polinômio qualquer nesse espaço pode ser escrito como:
onde
,
e
são constantes reais.
Passo 3
Como
é uma transformação linear, ela respeita a adição e a multiplicação por escalar. Isso quer dizer que:
Aqui, usamos a propriedade de linearidade para separar
nas partes que a gente já conhece.
Passo 4
Agora, vamos substituir pelos valores que o exercício nos deu:
Então, substituindo na expressão anterior:
Passo 5
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Resposta
A transformação linear
é dada por:
Exercícios relacionados
Determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(d)
Verifique quais das aplicações abaixo são lineares:
Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)
a) A distância entre os vértices
b) A equação das assintotas
c) Um esboço do gráfico