Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina que ocupa a região
cuja densidade é determinada por .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar a massa e o centro de massa de uma lâmina que está na região definida por e . A densidade da lâmina é dada por .
Aqui, vamos usar conceitos de Cálculo Integral para calcular a massa e o centro de massa. Precisaremos configurar integrais duplas para essas quantidades, preferencialmente usando coordenadas polares para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde a lâmina está localizada. A condição descreve um círculo de raio 2 centrado na origem ( ). Além disso, restringe essa região para a metade superior do círculo.
Como estamos lidando com círculos, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares, onde:
O elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 3

Vamos calcular a massa da lâmina. A massa é dada pela integral dupla da densidade sobre a região :
Substituindo (pois ) e :
Observe que vai de a porque estamos apenas na metade superior do círculo.
Calculando as integrais:
Então, a massa da lâmina é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o centro de massa . As fórmulas para o centro de massa são:
Vamos calcular e separadamente.
Calculando :
Em coordenadas polares:
Então:
Integrando:
Calculando :
Em coordenadas polares:
Então:
Integrando:

Resposta

A massa da lâmina é e o centro de massa está no ponto .

Exercícios relacionados

Dada a integral dupla
Calcule I para a função dada por .
Dada a integral dupla
Inverta a ordem de integração;
Seja a região limitada pelo cilindro e pelos planos e .
Calcule o volume de .
Sejam e definida por . Calcule