Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina
que ocupa a região
cuja densidade é determinada por
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar a massa e o centro de massa de uma lâmina que está na região definida por
e
. A densidade da lâmina é dada por
.
Aqui, vamos usar conceitos de Cálculo Integral para calcular a massa e o centro de massa. Precisaremos configurar integrais duplas para essas quantidades, preferencialmente usando coordenadas polares para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde a lâmina está localizada. A condição
descreve um círculo de raio 2 centrado na origem (
). Além disso,
restringe essa região para a metade superior do círculo.
Como estamos lidando com círculos, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares, onde:
O elemento de área em coordenadas polares é
.
Passo 3
Vamos calcular a massa da lâmina. A massa
é dada pela integral dupla da densidade sobre a região
:
Substituindo
(pois
) e
:
Observe que
vai de
a
porque estamos apenas na metade superior do círculo.
Calculando as integrais:
Então, a massa da lâmina é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o centro de massa
. As fórmulas para o centro de massa são:
Vamos calcular
e
separadamente.
Calculando
:
Em coordenadas polares:
Então:
Integrando:
Calculando
:
Em coordenadas polares:
Então:
Integrando:
Resposta
A massa da lâmina é
e o centro de massa está no ponto
.
Exercícios relacionados
Dada a integral dupla
Calcule I para a função dada por
.
Dada a integral dupla
Inverta a ordem de integração;
Seja
a região limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Calcule o volume de .
Calcule o volume de
Sejam
e
definida por
. Calcule