Seja
a região limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Calcule o volume de
.
Calcule o volume de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz para encontrar o volume da região
que está limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
. Vamos usar cálculo integral para resolver isso. Precisaremos entender como configurar os limites da integral com base nas equações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região. O cilindro
é uma parábola que se estende ao longo do eixo
. Os planos
e
vão limitar a altura da região. Quando
, temos a base da região no plano
. O plano
nos dá o limite superior em
.
Passo 3
Para configurar a integral, precisamos determinar os limites de integração para
,
e
. Observando
, vemos que
varia de
até onde a região se encontra com o plano
. Quando
,
. Então,
varia de
a 1.
Passo 4
Agora, para
, observamos que
atinge
quando
. Portanto,
varia de -1 a 1. Finalmente, para
, ele varia de 0 até
(rearranjando a equação
para
).
Passo 5
Com todos os limites definidos, montamos a integral tripla para o volume
:
Passo 6
Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Então, a integral agora é:
Passo 8
Agora, vamos integrar em relação a
:
Calculando para
:
Calculando para
:
Subtraindo:
Resposta
O volume de
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina
que ocupa a região
cuja densidade é determinada por
.
Dada a integral dupla
Calcule I para a função dada por
.
Sejam
e
definida por
. Calcule
Verifique se cada equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação.
.