Seja W a região limitada pelo cilindro y = x^2 e pelos planos z = 0 e y + z = 1.
Calcule o volume de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz para encontrar o volume da região que está limitada pelo cilindro e pelos planos e . Vamos usar cálculo integral para resolver isso. Precisaremos entender como configurar os limites da integral com base nas equações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região. O cilindro é uma parábola que se estende ao longo do eixo . Os planos e vão limitar a altura da região. Quando , temos a base da região no plano . O plano nos dá o limite superior em .

Passo 3

Para configurar a integral, precisamos determinar os limites de integração para , e . Observando , vemos que varia de até onde a região se encontra com o plano . Quando , . Então, varia de a 1.

Passo 4

Agora, para , observamos que atinge quando . Portanto, varia de -1 a 1. Finalmente, para , ele varia de 0 até (rearranjando a equação para ).

Passo 5

Com todos os limites definidos, montamos a integral tripla para o volume :

Passo 6

Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a :
Então, a integral agora é:

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a :
Calculando para :
Calculando para :
Subtraindo:

Resposta

O volume de é unidades cúbicas.

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