Dada a integral dupla .
(b) Inverta a ordem de integração;

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma integral dupla sobre a região . A questão pede pra gente inverter a ordem de integração nessa integral. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre mudanças na ordem de integração de integrais duplas. Vamos precisar entender bem como a região está definida e como os limites de integração se relacionam entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde vamos integrar. A integral dada é:
Aqui, varia de a , e para cada valor de , varia de a . Vamos desenhar isso no plano pra ficar mais claro.

Passo 3

Vamos identificar as fronteiras da região :
  1. vai de a .
  2. Para cada , varia de a .
Isso significa que a reta inferior de é e a reta superior é . Quando , vai de a . Quando , vai de a , ou seja, apenas um ponto.

Passo 4

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de e ajustar os limites:
  1. Primeiro, vai de a .
  2. Para cada , varia de a (isso vem de ).

Passo 5

Com os novos limites, a integral invertida fica:

Resposta

A ordem de integração invertida é:

Exercícios relacionados

Dada a integral dupla .
(a) Esboce o gráfico da região de integração D;
Enuncie a Regra da Substituição. Na prática, como fazer uso dela?
Use a mudança de coordenadas e e calcule a integral dupla
sobre a região do plano delimitada pelas retas e .
Usando coordenadas polares calcule a área da região do plano delimitada pelas curvas e