Dada a integral dupla
.
(b) Inverta a ordem de integração;
(b) Inverta a ordem de integração;
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma integral dupla sobre a região
. A questão pede pra gente inverter a ordem de integração nessa integral. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre mudanças na ordem de integração de integrais duplas. Vamos precisar entender bem como a região
está definida e como os limites de integração se relacionam entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
onde vamos integrar. A integral dada é:
Aqui,
varia de
a
, e para cada valor de
,
varia de
a
. Vamos desenhar isso no plano
pra ficar mais claro.
Passo 3
Vamos identificar as fronteiras da região
:
-
vai de a . - Para cada
, varia de a .
Isso significa que a reta inferior de
é
e a reta superior é
. Quando
,
vai de
a
. Quando
,
vai de
a
, ou seja, apenas um ponto.
Passo 4
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
e ajustar os limites:
- Primeiro,
vai de a . - Para cada
, varia de a (isso vem de ).
Passo 5
Com os novos limites, a integral invertida fica:
Resposta
A ordem de integração invertida é:
Exercícios relacionados
Dada a integral dupla
.
(a) Esboce o gráfico da região de integração D;
(a) Esboce o gráfico da região de integração D;
Enuncie a Regra da Substituição. Na prática, como fazer uso dela?
Use a mudança de coordenadas
e
e calcule a integral dupla
sobre a região
do plano
delimitada pelas retas
e
.
Usando coordenadas polares calcule a área da região do plano delimitada pelas curvas
e