Dada a integral dupla integral duplaD f(x, y) d x d y=integral0^1 / 2 integral2 y^1 f(x, y) d x d y.
(b) Inverta a ordem de integração;

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma integral dupla sobre a região . A questão pede pra gente inverter a ordem de integração nessa integral. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre mudanças na ordem de integração de integrais duplas. Vamos precisar entender bem como a região está definida e como os limites de integração se relacionam entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região integral0^12 integral2y^1 f(x, y) , dx , dy onde vamos integrar. A integral dada é:
Aqui, varia de a , e para cada valor de , varia de a . Vamos desenhar isso no plano pra ficar mais claro.

Passo 3

Vamos identificar as fronteiras da região :
  1. vai de a .
  2. Para cada , varia de a .
Isso significa que a reta inferior de é e a reta superior é . Quando , vai de a . Quando , vai de a , ou seja, apenas um ponto.

Passo 4

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de e ajustar os limites:
  1. Primeiro, vai de a .
  2. Para cada , varia de a (isso vem de ).

Passo 5

Com os novos limites, a integral invertida fica:
integral0^1 integral0^x2 f(x, y) , dy , dx

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral0^1 integral0^x2 f(x, y) , dy , dx

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