Dada a integral dupla
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© Calcule a integral dupla para
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© Calcule a integral dupla para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma integral dupla, que basicamente significa que a gente vai integrar uma função de duas variáveis,
, sobre uma região
. Aqui, a função é
. A região
é definida pelos limites de
de 0 a
e, para cada
,
vai de
a 1. Vamos precisar usar o conceito de integrais duplas e entender como integrar funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral que precisamos calcular usando os limites fornecidos:
Aqui, vamos integrar primeiro em relação a
, mantendo
fixo, e depois integrar o resultado em relação a
.
Passo 3
Vamos começar integrando
em relação a
. No entanto, essa função não tem uma primitiva elementar, ou seja, não conseguimos encontrar uma função antiderivada simples. Então, a gente precisa usar uma substituição para simplificar.
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral em relação a
. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Mas, percebemos que ainda temos um
na expressão, o que complica. Então, vamos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 5
Como a função
é complicada para integrar diretamente, vamos usar uma aproximação numérica ou reconhecer que a integral pode estar relacionada a funções especiais, como a função de Fresnel. Porém, para fins educativos, vamos assumir que usamos uma tabela de integrais ou uma calculadora para encontrar o valor da integral definida entre os limites
e 1.
Passo 6
Vamos chamar a integral interna de
:
Como não conseguimos integrar exatamente, vamos considerar que temos um valor para
que depende de
. Agora, precisamos integrar
em relação a
de 0 a
.
Passo 7
A integral dupla então fica:
Novamente, essa integral também não pode ser resolvida de forma elementar, então teríamos que usar métodos numéricos para encontrar o valor aproximado.
Resposta
Portanto, a integral dupla
não pode ser expressa em termos de funções elementares e, para obter seu valor, seria necessário utilizar métodos numéricos ou funções especiais como a função de Fresnel.