Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma. sumn=1^infty 1k(k+1)(k+2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série que é a soma infinita de termos da forma 1k(k+1)(k+2). Aqui estamos no universo do Cálculo, trabalhando com séries infinitas e verificando se elas convergem (ou seja, se somam a um valor finito). Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar termos complicados.

Passo 2

Primeiro, precisamos simplificar o termo geral da série, 1k(k+1)(k+2). Para isso, vamos decompô-lo em frações parciais, ou seja, escrever essa fração como a soma de termos mais simples.

Passo 3

Vamos supor que:
1k(k+1)(k+2) = Ak + Bk+1 + Ck+2
Multiplicando ambos os lados por k(k+1)(k+2) para eliminar os denominadores:
1 = A(k+1)(k+2) + Bk(k+2) + Ck(k+1)
Expandindo e comparando os coeficientes, encontramos os valores de A, B e C. Após resolver, descobrimos que:
A = 12, B = -1, C = 12
Então, a decomposição fica:
1k(k+1)(k+2) = 1/2k - 1k+1 + 1/2k+2

Passo 4

Agora, substituímos essa decomposição na série original:
sumk=1^infty ( 1/2k - 1k+1 + 1/2k+2 )
Podemos reescrever isso como:
12 sumk=1^infty 1k - sumk=1^infty 1k+1 + 12 sumk=1^infty 1k+2

Passo 5

Observamos que essa série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos os elementos. Vamos escrever os primeiros termos para ver o que acontece:
( 12 cdot 11 - 12 + 12 cdot 13 ) + ( 12 cdot 12 - 13 + 12 cdot 14 ) + dots
Notamos que, ao somar, muitos termos positivos e negativos se cancelam, restando apenas alguns termos iniciais e finais.

Passo 6

Como a série é telescópica, podemos calcular o limite da soma parcial conforme k tende ao infinito. Após simplificações, a soma converge para:
14

Resposta

A série sumk=1^infty 1k(k+1)(k+2) converge e sua soma é 14.

Exercícios relacionados