Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa série que é a soma infinita de termos da forma
. Aqui estamos no universo do Cálculo, trabalhando com séries infinitas e verificando se elas convergem (ou seja, se somam a um valor finito). Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar termos complicados.
Passo 2
Primeiro, precisamos simplificar o termo geral da série,
. Para isso, vamos decompô-lo em frações parciais, ou seja, escrever essa fração como a soma de termos mais simples.
Passo 3
Vamos supor que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Expandindo e comparando os coeficientes, encontramos os valores de
,
e
. Após resolver, descobrimos que:
Então, a decomposição fica:
Passo 4
Agora, substituímos essa decomposição na série original:
Podemos reescrever isso como:
Passo 5
Observamos que essa série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos os elementos. Vamos escrever os primeiros termos para ver o que acontece:
Notamos que, ao somar, muitos termos positivos e negativos se cancelam, restando apenas alguns termos iniciais e finais.
Passo 6
Como a série é telescópica, podemos calcular o limite da soma parcial conforme
tende ao infinito. Após simplificações, a soma converge para:
Resposta
A série
converge e sua soma é
.