Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma. sumn=1^infty(13^n+(-1)^n3^n);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que é a soma de dois termos: 13^n e (-1)^n3^n. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor finito) e, se sim, qual é esse valor. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são bem manhas para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
sumn=1^infty(13^n + (-1)^n3^n) = sumn=1^infty13^n + sumn=1^infty(-1)^n3^n
Agora temos duas séries geométricas distintas para analisar.

Passo 3

Vamos identificar a razão de cada série geométrica. A razão ( r) de uma série geométrica é o número que multiplicamos a cada termo para chegar no próximo termo.
  1. Primeira série: sumn=1^infty13^n
    • Aqui, cada termo é 13 vezes o termo anterior, então r = 13.
  2. Segunda série: sumn=1^infty(-1)^n3^n
    • Nesse caso, além de multiplicar por 13, também alternamos o sinal do termo a cada passo, ent��o r = -13.

Passo 4

Para que uma série geométrica converja, o valor absoluto da razão precisa ser menor que 1, ou seja, |r| < 1.
  1. Primeira série: |r| = |13| = 13 < 1 → Converge.
  2. Segunda série: |r| = |-13| = 13 < 1 → Converge também.
Então, ambas as séries convergem.

Passo 5

Agora vamos encontrar a soma de cada série geométrica. A fórmula para a soma de uma série geométrica que começa no n=1 é:
S = r1 - r
Aplicando a fórmula:
  1. Primeira série:
S1 = 131 - 13 = 1323 = 12
  1. Segunda série:
S2 = -131 - (-13) = -131 + 13 = -1343 = -14

Resposta

A série converge e a sua soma é 14.

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