Use diferenciação para mostrar que a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma sequência definida por
. A missão é mostrar, usando diferenciação, se essa sequência está sempre aumentando (estritamente crescente) ou sempre diminuindo (estritamente decrescente). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções e como usar a derivada para analisar o comportamento delas.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a sequência em uma função contínua para facilitar a análise. Vamos definir:
Assim, podemos estudar como essa função se comporta conforme
aumenta.
Passo 3
Agora, para saber se a função está aumentando ou diminuindo, a gente vai calcular a derivada de
em relação a
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, se é positiva (função aumentando) ou negativa (função diminuindo).
Vamos derivar
:
Usamos a regra do quociente para derivar:
Simplificando:
Passo 4
Vamos analisar o sinal da derivada
:
Sabemos que
é sempre positivo para qualquer valor de
. Então, o sinal de
depende apenas do numerador
.
- Se
, ou seja, , então . - Se
, ou seja, , então .
Passo 5
Como estamos analisando a sequência a partir de
em diante, ou seja,
, a condição
sempre se aplica. Portanto, para todo
, temos que
.
Isso significa que a função
está sempre diminuindo nesse intervalo.
Resposta
A sequência
é estritamente decrescente para todo
.