Use diferenciação para mostrar que a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
{n/e^(2n)}_{n=1}^{+\infty}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma sequência definida por {n/e^(2n)}_{n=1}^{+\infty}. A missão é mostrar, usando diferenciação, se essa sequência está sempre aumentando (estritamente crescente) ou sempre diminuindo (estritamente decrescente). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções e como usar a derivada para analisar o comportamento delas.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a sequência em uma função contínua para facilitar a análise. Vamos definir:
Assim, podemos estudar como essa função se comporta conforme aumenta.

Passo 3

Agora, para saber se a função está aumentando ou diminuindo, a gente vai calcular a derivada de em relação a . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, se é positiva (função aumentando) ou negativa (função diminuindo).
Vamos derivar :
Usamos a regra do quociente para derivar:
Simplificando:

Passo 4

Vamos analisar o sinal da derivada :
Sabemos que é sempre positivo para qualquer valor de . Então, o sinal de depende apenas do numerador .
  • Se , ou seja, , então .
  • Se , ou seja, , então .

Passo 5

Como estamos analisando a sequência a partir de em diante, ou seja, , a condição sempre se aplica. Portanto, para todo , temos que .
Isso significa que a função está sempre diminuindo nesse intervalo.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente para todo .

Exercícios relacionados