Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
;
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita que começa no n=1 e vai até o infinito, onde cada termo é
. O lance é descobrir se essa série vai convergir, ou seja, se ela tem um valor final, e se sim, qual é esse valor. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas e verificar algumas condições básicas para determinar a convergência e calcular a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da série. Aqui, cada termo da série é na forma de uma potência de
, o que caracteriza uma série geométrica. As séries geométricas têm a forma geral:
Onde:
-
é o primeiro termo da série, -
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, a série começa no
e o termo geral é
. Para facilitar, podemos reescrever a série começando no
:
Mas isso fica mais complicado, então vamos ajustar para usar a fórmula padrão sem mudar o índice.
Passo 3
Vamos analisar a série original:
Podemos fatorar
da potência para reescrever a série:
Agora, temos uma série geométrica padrão onde
e a razão
.
Passo 4
Para uma série geométrica
convergir, a razão
deve satisfazer
.
No nosso caso,
e
, então a série converge.
Passo 5
Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma usando a fórmula da soma da série geométrica infinita:
Aqui,
e
, então substituindo na fórmula:
Resposta
A série converge e a soma dela é
.