Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma. sumn=1^infty(35)^n+1;

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita que começa no n=1 e vai até o infinito, onde cada termo é . O lance é descobrir se essa série vai convergir, ou seja, se ela tem um valor final, e se sim, qual é esse valor. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas e verificar algumas condições básicas para determinar a convergência e calcular a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da série. Aqui, cada termo da série é na forma de uma potência de sumn=0^infty ar^n , o que caracteriza uma série geométrica. As séries geométricas têm a forma geral:
sumn=0^infty (35)^(n+1)+1 = sumn=0^infty (35)^n+2
Onde:
  • é o primeiro termo da série,
  • é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, a série começa no e o termo geral é . Para facilitar, podemos reescrever a série começando no :
Mas isso fica mais complicado, então vamos ajustar para usar a fórmula padrão sem mudar o índice.

Passo 3

Vamos analisar a série original:
sumn=1^infty (35)^n+1
Podemos fatorar sumn=1^infty (35)^n cdot (35)^1 = (35) sumn=1^infty (35)^n da potência para reescrever a série:
Agora, temos uma série geométrica padrão onde e a razão .

Passo 4

Para uma série geométrica convergir, a razão deve satisfazer .
No nosso caso, e , então a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma usando a fórmula da soma da série geométrica infinita:
S = a1 - r
Aqui, S = 351 - 35 = 3525 = 35 times 52 = 32 e , então substituindo na fórmula:

Resposta

A série converge e a soma dela é .

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