Dada a integral dupla
.
(b) Inverta a ordem de integração;
(b) Inverta a ordem de integração;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
. A gente vai usar conceitos de integração dupla e entender como mudar os limites de integração quando invertemos a ordem das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano xy. A integral original tem
variando de 0 a
e, para cada
,
varia de
a 1.
Passo 3
Vamos desenhar essa região. No eixo y, temos
. Para cada valor de
,
começa em
e vai até 1. Isso forma um trapézio limitado por:
- A linha
- A linha
- A linha
- A linha vertical
Passo 4
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Observando a linha
, podemos reescrever como
.
Passo 5
Determinar os novos limites:
-
varia de 0 a 1 (já que na integral original, o máximo de é 1). - Para cada
, varia de 0 até .
Passo 6
Agora, escrevemos a integral com a ordem de integração invertida:
Resposta
A ordem de integração invertida é
.