Dada a integral dupla integral0^1 / 2 integral2 y^1 f(x, y) d x d y.
(b) Inverta a ordem de integração;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla integral0^1 / 2 integral2 y^1 f(x, y) , dx , dy. A gente vai usar conceitos de integração dupla e entender como mudar os limites de integração quando invertemos a ordem das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano xy. A integral original tem y variando de 0 a 12 e, para cada y, x varia de 2y a 1.

Passo 3

Vamos desenhar essa região. No eixo y, temos 0 <= y <= 12. Para cada valor de y, x começa em 2y e vai até 1. Isso forma um trapézio limitado por:
  • A linha y = 0
  • A linha y = 12
  • A linha x = 2y
  • A linha vertical x = 1

Passo 4

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar y em termos de x. Observando a linha x = 2y, podemos reescrever como y = x2.

Passo 5

Determinar os novos limites:
  • x varia de 0 a 1 (já que na integral original, o máximo de x é 1).
  • Para cada x, y varia de 0 até x2.

Passo 6

Agora, escrevemos a integral com a ordem de integração invertida:
integral0^1 integral0^x2 f(x, y) , dy , dx

Resposta

A ordem de integração invertida é integral0^1 integral0^x2 f(x, y) , dy , dx.

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