y' + y^3 = 0, y(0) = y0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . Esse tipo de equação pertence ao estudo de equações diferenciais ordinárias e, mais especificamente, é uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que ajuda a separar os termos que envolvem y dos que envolvem x.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar isolado:
Aqui, representa a derivada de y em relação a x.

Passo 3

Agora, aplicamos o método de separação de variáveis. A ideia é colocar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro lado:
Vamos rearranjar para:

Passo 4

Em seguida, integramos ambos os lados da equação:
A integração de em relação a y resulta em , e a integração de -1 em relação a x resulta em -x:
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Vamos simplificar a equação para resolver y em termos de x. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos reescrever C como uma nova constante, digamos , então:

Passo 6

Agora, vamos resolver para y:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo x = 0 e :
Assumindo que selecionamos o sinal positivo:
Resolvendo para :

Passo 8

Substituímos de volta na expressão para y:
Simplificando:
Ou, escrevendo de forma mais elegante:

Resposta

A solução da equação diferencial é

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