Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Esse tipo de equação pertence ao estudo de equações diferenciais ordinárias e, mais especificamente, é uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que ajuda a separar os termos que envolvem
dos que envolvem
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora, aplicamos o método de separação de variáveis. A ideia é colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado:
Vamos rearranjar para:
Passo 4
Em seguida, integramos ambos os lados da equação:
A integração de
em relação a
resulta em
, e a integração de
em relação a
resulta em
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos simplificar a equação para resolver
em termos de
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Podemos reescrever
como uma nova constante, digamos
, então:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Assumindo que selecionamos o sinal positivo:
Resolvendo para
:
Passo 8
Substituímos
de volta na expressão para
:
Simplificando:
Ou, escrevendo de forma mais elegante:
Resposta
A solução da equação diferencial é