Resolva os pri
Passo 1
Primeiro, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos uma equação diferencial que relaciona
e
. A equação é:
E a condição inicial é
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis
e
, e então integrar ambos os lados.
Passo 2
Vamos começar multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar o denominador à direita:
Agora, nosso objetivo é simplificar o lado direito da equação. Para isso, vamos dividir o polinômio
por
.
Passo 3
Vamos realizar a divisão polinomial de
por
:
Então, a equação fica:
Passo 4
Vamos agora dividir ambos os lados por
para isolar
:
Essa forma ainda está complicada, então vamos tentar simplificar mais. Observando a equação, percebemos que é possível fazer uma substituição para facilitar a resolução.
Passo 5
Vamos fazer a substituição
. Então,
. Substituindo na equação, temos:
Agora, nossa equação está em termos de
e
, o que facilita a separação das variáveis.
Passo 6
Vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
:
Simplificando o lado direito:
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, reescrevemos a equação de forma que todos os termos envolvendo
fiquem de um lado e os termos envolvendo
do outro:
Integramos ambos os lados:
Passo 8
Calculando as integrais:
À esquerda:
À direita, vamos integrar termo a termo:
Para integrar
, podemos usar frações parciais:
Somando tudo:
Simplificando:
Passo 9
Voltando para
:
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
:
Quando
,
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial é: