Resolva os pri x^2 dy/dx = (4 x^3 - x - 2) / ((x + 1)(y + 1)), y(1) = 1

Passo 1

Primeiro, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos uma equação diferencial que relaciona e . A equação é:
E a condição inicial é . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis e , e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Vamos começar multiplicando ambos os lados da equação por para eliminar o denominador à direita:
Agora, nosso objetivo é simplificar o lado direito da equação. Para isso, vamos dividir o polinômio por .

Passo 3

Vamos realizar a divisão polinomial de por :
Então, a equação fica:

Passo 4

Vamos agora dividir ambos os lados por para isolar :
Essa forma ainda está complicada, então vamos tentar simplificar mais. Observando a equação, percebemos que é possível fazer uma substituição para facilitar a resolução.

Passo 5

Vamos fazer a substituição . Então, . Substituindo na equação, temos:
Agora, nossa equação está em termos de e , o que facilita a separação das variáveis.

Passo 6

Vamos reescrever a equação para separar as variáveis e :
Simplificando o lado direito:

Passo 7

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, reescrevemos a equação de forma que todos os termos envolvendo fiquem de um lado e os termos envolvendo do outro:
Integramos ambos os lados:

Passo 8

Calculando as integrais:
À esquerda:
À direita, vamos integrar termo a termo:
Para integrar , podemos usar frações parciais:
Somando tudo:
Simplificando:

Passo 9

Voltando para :
Para encontrar a constante , usamos a condição inicial :
Quando , , então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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