Dada a integral integral(2 x+3)^4 d x, resolva utilizando a substituição u=2 x+3.
Calcule a derivada de u em relação a x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral(2x + 3)^4 dx usando substituição. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais e a técnica de substituição. Para isso, vamos precisar definir uma nova variável para simplificar a integral e calcular a derivada dessa substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = 2x + 3
Essa substituição nos ajuda a transformar a expressão complicada dentro da integral em algo mais simples.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Então, vamos derivar ambos os lados da equação u = 2x + 3:
dudx = 2
Isso significa que:
du = 2 , dx ou dx = du2

Passo 4

Substituindo u e dx na integral original, temos:
integral(2x + 3)^4 dx = integral u^4 cdot du2 = 12 integral u^4 du
Agora, a integral ficou mais simples de calcular.

Passo 5

Vamos integrar u^4 em relação a u:
integral u^4 du = u^55 + C
Então, substituindo de volta:
12 integral u^4 du = 12 cdot u^55 + C = u^510 + C

Passo 6

Agora, voltamos à variável original x substituindo u = 2x + 3:
u^510 + C = (2x + 3)^510 + C

Resposta

A integral integral(2x + 3)^4 dx é igual a:
(2x + 3)^510 + C

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