Dada a integral integral(2 x+3)^4 d x, resolva utilizando a substituição u=2 x+3.
Reverta a substituição para obter a resposta em termos de x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A matéria que estamos lidando aqui é de Cálculo Integral, especificamente a técnica de substituição. Para resolver essa integral, vamos usar a substituição , que vai simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição:
u = 2x + 3
Agora, precisamos encontrar dudx = 2 em termos de du = 2 , dx . Derivando ambos os lados em relação a dx = du2 :
Então:
Para isolar , dividimos ambos os lados por 2:

Passo 3

Substituímos integral(2x + 3)^4 , dx = integral u^4 cdot du2 e 12 integral u^4 , du na integral original:
Podemos tirar a constante para fora da integral:

Passo 4

Agora, integramos integral u^4 , du = u^55 + C em relação a 12 cdot u^55 + C = u^510 + C :
Multiplicando pela constante :

Passo 5

Por fim, reverter a substituição para voltar em termos de (2x + 3)^510 + C . Lembrando que :

Resposta

A integral (2x + 3)^510 + C é igual a:

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