Encontre a integral indefinida de integral(5 x-1) e^2 x d x usando a substituição u=2 x.
Substitua u na integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a integral indefinida de (5x - 1)e^2xdx. Isso faz parte do estudo de integrais que envolvem funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, onde vamos definir u = 2x. Isso vai ajudar a simplificar a integral e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição u = 2x. Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x.
du = dudxdx = 2dx implies dx = du2

Passo 3

Agora, vamos substituir u e dx na integral original:
integral (5x - 1)e^2xdx = integral (5x - 1) e^u cdot du2
Para simplificar, podemos fatorar o 12:
= 12 integral (5x - 1)e^u du

Passo 4

Mas ainda temos o x na expressão, e nossa substituição foi u = 2x. Então, podemos expressar x em termos de u:
x = u2
Substituindo isso na integral:
= 12 integral (5(u2) - 1) e^u du
Simplificando dentro do parêntese:
= 12 integral (5u2 - 1) e^u du

Passo 5

Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a integração:
= 12 ( integral 5u2 e^u du - integral e^u du )
Simplificando os coeficientes:
= 54 integral u e^u du - 12 integral e^u du

Passo 6

A integral integral u e^u du é uma integração por partes. Vamos aplicar a fórmula:
integral u e^u du = u e^u - integral e^u du
Então,
= u e^u - e^u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na nossa expressão original:
54 (u e^u - e^u) - 12 e^u + C
Fatorando e^u:
= e^u ( 5u4 - 54 - 12 ) + C
Simplificando os coeficientes:
= e^u ( 5u4 - 74 ) + C

Passo 8

Agora, vamos voltar para a variável original x, lembrando que u = 2x:
= e^2x ( 5(2x)4 - 74 ) + C
Simplificando dentro do parêntese:
= e^2x ( 10x4 - 74 ) + C
= e^2x ( 10x - 74 ) + C

Resposta

A integral indefinida de (5x - 1)e^2xdx é:
integral (5x - 1)e^2x dx = (10x - 7)4 e^2x + C

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