Encontre a integral indefinida de usando a substituição .
Substitua na integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a integral indefinida de . Isso faz parte do estudo de integrais que envolvem funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, onde vamos definir . Isso vai ajudar a simplificar a integral e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição . Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na integral original:
Para simplificar, podemos fatorar o :

Passo 4

Mas ainda temos o na expressão, e nossa substituição foi . Então, podemos expressar em termos de :
Substituindo isso na integral:
Simplificando dentro do parêntese:

Passo 5

Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a integração:
Simplificando os coeficientes:

Passo 6

A integral é uma integração por partes. Vamos aplicar a fórmula:
Então,
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na nossa expressão original:
Fatorando :
Simplificando os coeficientes:

Passo 8

Agora, vamos voltar para a variável original , lembrando que :
Simplificando dentro do parêntese:

Resposta

A integral indefinida de é:

Exercícios relacionados

Encontre a integral indefinida de usando a substituição .
Determine a derivada de com relação a .
Dada a integral , resolva utilizando a substituição .
Reverta a substituição para obter a resposta em termos de .
Encontre a integral indefinida de usando a substituição .
Resolva a integral resultante em termos de .
Encontre a integral indefinida de usando a substituição .
Reverta a substituição para expressar a resposta em termos de .