Encontre a integral indefinida de
usando a substituição
.
Determine a derivada de
com relação a
.
Determine a derivada de
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a integral indefinida de
usando a substituição
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossa substituição:
. Isso significa que estamos escolhendo uma parte da integral para simplificar a expressão.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Isso é necessário para substituir
na integral.
Passo 4
Vamos resolver para
:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original:
Passo 6
Precisamos também expressar
em termos de
. Como
, então
.
Passo 7
Substituindo
na integral:
Passo 8
Simplificando os coeficientes:
Passo 9
Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Passo 10
Integrando cada parte:
- Para
, usamos a integração por partes, que nos dá . - Para
, a integral é simplesmente .
Então,
Passo 11
Agora, substituímos
de volta na expressão:
Simplificando:
Passo 12
Agora, vamos determinar a derivada de
em relação a
. Como definimos
, sua derivada é:
Resposta
A derivada de
com relação a
é
.
Exercícios relacionados
Dada a integral
, resolva utilizando a substituição
.
Reverta a substituição para obter a resposta em termos de .
Reverta a substituição para obter a resposta em termos de
Resolva cada equação em
.
©
©
Encontre a integral indefinida de
usando a substituição
.
Substitua na integral.
Substitua
Encontre a integral indefinida de
usando a substituição
.
Resolva a integral resultante em termos de .
Resolva a integral resultante em termos de