Encontre a integral indefinida de integral(5 x-1) e^2 x d x usando a substituição u=2 x.
Determine a derivada de u com relação a x.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a integral indefinida de (5x - 1)e^2x , dx usando a substituição u = 2x. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa substituição: u = 2x. Isso significa que estamos escolhendo uma parte da integral para simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x. Isso é necessário para substituir dx na integral.
dudx = 2

Passo 4

Vamos resolver para dx:
dx = du2

Passo 5

Substituindo u e dx na integral original:
integral (5x - 1)e^2x , dx = integral (5x - 1)e^u cdot du2

Passo 6

Precisamos também expressar x em termos de u. Como u = 2x, então x = u2.

Passo 7

Substituindo x na integral:
integral (5 cdot u2 - 1)e^u cdot du2 = integral (5u2 - 1)e^u cdot du2

Passo 8

Simplificando os coeficientes:
integral (5u4 - 12)e^u , du

Passo 9

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
54 integral u e^u , du - 12 integral e^u , du

Passo 10

Integrando cada parte:
  • Para integral u e^u , du, usamos a integração por partes, que nos dá u e^u - e^u.
  • Para integral e^u , du, a integral é simplesmente e^u.
Então,
54(u e^u - e^u) - 12 e^u + C

Passo 11

Agora, substituímos u = 2x de volta na expressão:
54(2x e^2x - e^2x) - 12 e^2x + C
Simplificando:
52x e^2x - 54e^2x - 12e^2x + C
52x e^2x - 74e^2x + C

Passo 12

Agora, vamos determinar a derivada de u em relação a x. Como definimos u = 2x, sua derivada é:
dudx = 2

Resposta

A derivada de u com relação a x é 2.

Exercícios relacionados