Encontre a integral indefinida de usando a substituição .
Determine a derivada de com relação a .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a integral indefinida de usando a substituição . Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa substituição: . Isso significa que estamos escolhendo uma parte da integral para simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Isso é necessário para substituir na integral.

Passo 4

Vamos resolver para :

Passo 5

Substituindo e na integral original:

Passo 6

Precisamos também expressar em termos de . Como , então .

Passo 7

Substituindo na integral:

Passo 8

Simplificando os coeficientes:

Passo 9

Agora, vamos separar a integral em duas partes:

Passo 10

Integrando cada parte:
  • Para , usamos a integração por partes, que nos dá .
  • Para , a integral é simplesmente .
Então,

Passo 11

Agora, substituímos de volta na expressão:
Simplificando:

Passo 12

Agora, vamos determinar a derivada de em relação a . Como definimos , sua derivada é:

Resposta

A derivada de com relação a é .

Exercícios relacionados

Dada a integral , resolva utilizando a substituição .
Reverta a substituição para obter a resposta em termos de .
Resolva cada equação em .
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Encontre a integral indefinida de usando a substituição .
Substitua na integral.
Encontre a integral indefinida de usando a substituição .
Resolva a integral resultante em termos de .