Dada integral1^4 raizx d x=143, calcule a integral.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral definida de raizx no intervalo de 1 a 4, ou seja, queremos calcular integral1^4 raizx , dx. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a regra de integração para funções de potência.

Passo 2

Sabemos que raizx pode ser escrita como x^1/2. Assim, a integral fica integral1^4 x^1/2 , dx.

Passo 3

Para integrar x^n, usamos a regra da potência, que diz que integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos nos preocupar com C.

Passo 4

Aplicando a regra da potência para n = 1/2, temos:
integral x^1/2 , dx = x^1/2 + 11/2 + 1 = x^3/23/2 = 23 x^3/2

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 4:
[ 23 x^3/2 ]1^4 = 23 (4^3/2) - 23 (1^3/2)

Passo 6

Calculamos 4^3/2 e 1^3/2:
4^3/2 = (raiz4)^3 = 2^3 = 8
1^3/2 = (raiz1)^3 = 1^3 = 1

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
23 times 8 - 23 times 1 = 163 - 23 = 143

Resposta

A integral integral1^4 raizx , dx é igual a 143.

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