Use a Definição (5.16) para expressar cada limite como uma integral definida no intervalo dado

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um limite de uma soma que se parece com uma soma de Riemann. O intervalo dado é , e a expressão dentro da soma é . Vamos precisar usar a Definição de Integral definida para transformar esse limite em uma integral no intervalo .

Passo 2

A Definição de Integral definida nos diz que, à medida que o tamanho dos subintervalos tende a zero, a soma de Riemann se aproxima da integral definida da função no intervalo dado. Aqui, a nossa função parece ser , já que representa um ponto qualquer no k-ésimo subintervalo.

Passo 3

Vamos identificar a função e os limites de integração. A função é , e o intervalo de integração é . Então, a integral definida que representa o limite dado é:

Passo 4

Portanto, usando a Definição (5.16), expressamos o limite como a integral definida da função no intervalo .

Resposta

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Se e é a partição de definida por , ache uma soma de Riemann de escolhendo os números e 4 nos subintervalos de .
Dada , calcule a integral.
Seja a região delimitada pelo gráfico de e o eixo-x de a . Estabeleça uma soma de integrais, que não contenha o símbolo de valor absoluto, para calcular a área de .
Calcule sabendo que: .