Resuelve la ecuación por el método de los coeficientes indeterminados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A equação dada é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos encontrar duas partes: a solução geral da equação homogênea (onde o lado direito é zero) e uma solução particular da equação completa. Vamos precisar conhecer um pouco sobre equações lineares e métodos para encontrar soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é um número que vamos determinar. Substituindo na equação, temos:
Dividindo tudo por
(que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas raízes:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias que determinaremos com condições iniciais (se houver).
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Vamos olhar para o lado direito e notar que temos uma combinação de uma função exponencial
e um polinômio de grau 1 (
). Para cada tipo de função, fazemos uma suposição para
.
Passo 6
Para a parte exponencial
:
Assumimos uma solução da forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Comparando os coeficientes:
Então,
Para a parte polinomial
:
Assumimos uma solução da forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Comparando os coeficientes:
-
Para
:
-
Para constantes:
Então,
Passo 7
Finalmente, a solução particular completa é a soma das duas partes encontradas:
Então, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.