Resuelve la ecuación por el método de los coeficientes indeterminados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A equação dada é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos encontrar duas partes: a solução geral da equação homogênea (onde o lado direito é zero) e uma solução particular da equação completa. Vamos precisar conhecer um pouco sobre equações lineares e métodos para encontrar soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é um número que vamos determinar. Substituindo na equação, temos:
Dividindo tudo por (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas raízes:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias que determinaremos com condições iniciais (se houver).

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Vamos olhar para o lado direito e notar que temos uma combinação de uma função exponencial e um polinômio de grau 1 ( ). Para cada tipo de função, fazemos uma suposição para .

Passo 6

Para a parte exponencial :
Assumimos uma solução da forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Comparando os coeficientes:
Então,
Para a parte polinomial :
Assumimos uma solução da forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Comparando os coeficientes:
  • Para :
  • Para constantes:
Então,

Passo 7

Finalmente, a solução particular completa é a soma das duas partes encontradas:
Então, a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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(1)
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