Dada a matriz abaixo:
(A mid B)=(ccccc 1 & 0 & 1 & -2 & -1 2 & 1 & 0 & 2 & 1 0 & -1 & -1 & -1 & 1 1 & -1 & 1 & 0 & -1 1 & -2 & 0 & 1 & -1 )
Encontre e escreva o conjunto solução para este sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que está na forma de uma matriz aumentada. Isso faz parte da álgebra linear, onde usamos métodos como a eliminação de Gauss para simplificar e encontrar as soluções das varições. A matriz que você me deu é:
(A mid B)=(ccccc 1 & 0 & 1 & -2 & -1 2 & 1 & 0 & 2 & 1 0 & -1 & -1 & -1 & 1 1 & -1 & 1 & 0 & -1 1 & -2 & 0 & 1 & -1 )
Aqui, as primeiras quatro colunas representam os coeficientes das variáveis do sistema, e a quinta coluna é o termo constante. Nosso objetivo é manipular essa matriz para encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a matriz para facilitar a eliminação. O objetivo é deixar os coeficientes abaixo da diagonal principal (os elementos abaixo de onde a linha e a coluna se encontram) iguais a zero. Começamos com a primeira coluna.
A primeira linha já tem um 1 na primeira posição, então vamos usá-la para eliminar os elementos abaixo desse 1 nas outras linhas.
  • Linha 2: Já começa com 2. Vamos subtrair 2 vezes a linha 1 da linha 2:
    L2 = L2 - 2 times L1
  • Linha 4: Tem um 1 na primeira posição. Vamos subtrair a linha 1 da linha 4:
    L4 = L4 - L1
  • Linha 5: Também tem um 1 na primeira posição. Vamos subtrair a linha 1 da linha 5:
    L5 = L5 - L1
Após essas operações, a matriz fica assim:
(ccccc 1 & 0 & 1 & -2 & -1 0 & 1 & -2 & 6 & 3 0 & -1 & -1 & -1 & 1 0 & -1 & 0 & 2 & 0 0 & -2 & -1 & 5 & 0 )

Passo 3

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1 (já está), e vamos usar isso para eliminar os elementos abaixo e acima desse 1.
  • Linha 3: Tem -1 na segunda posição. Vamos adicionar a linha 2 à linha 3:
    L3 = L3 + L2
  • Linha 4: Também tem -1 na segunda posição. Vamos adicionar a linha 2 à linha 4:
    L4 = L4 + L2
  • Linha 5: Tem -2 na segunda posição. Vamos adicionar 2 vezes a linha 2 à linha 5:
    L5 = L5 + 2 times L2
Após essas operações, a matriz fica:
(ccccc 1 & 0 & 1 & -2 & -1 0 & 1 & -2 & 6 & 3 0 & 0 & -3 & 5 & 4 0 & 0 & -2 & 8 & 3 0 & 0 & -5 & 17 & 6 )

Passo 4

Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Nosso objetivo é tornar o coeficiente da terceira variável na terceira linha igual a 1 e eliminar os demais abaixo e acima.
Primeiro, note que o coeficiente da terceira variável na terceira linha é -3. Vamos dividir toda a linha 3 por -3 para que esse coeficiente se torne 1:
L3 = L3-3
Depois da divisão, a matriz fica:
(ccccc 1 & 0 & 1 & -2 & -1 0 & 1 & -2 & 6 & 3 0 & 0 & 1 & -53 & -43 0 & 0 & -2 & 8 & 3 0 & 0 & -5 & 17 & 6 )
Agora, vamos eliminar os demais coeficientes da terceira coluna.
  • Linha 1: Tem 1 na terceira posição. Vamos subtrair a linha 3 da linha 1:
    L1 = L1 - L3
  • Linha 2: Tem -2 na terceira posição. Vamos adicionar 2 vezes a linha 3 à linha 2:
    L2 = L2 + 2 times L3
  • Linha 4: Tem -2 na terceira posição. Vamos adicionar 2 vezes a linha 3 à linha 4:
    L4 = L4 + 2 times L3
  • Linha 5: Tem -5 na terceira posição. Vamos adicionar 5 vezes a linha 3 à linha 5:
    L5 = L5 + 5 times L3
Após essas operações, a matriz fica:
(ccccc 1 & 0 & 0 & -13 & -53 0 & 1 & 0 & 43 & 13 0 & 0 & 1 & -53 & -43 0 & 0 & 0 & 143 & 13 0 & 0 & 0 & 23 & 23 )

Passo 5

Agora, vamos focar na quarta coluna. Queremos que o coeficiente da quarta variável na quarta linha seja 1. Para isso, vamos multiplicar a linha 4 por 314:
L4 = L4 times 314
Além disso, vamos multiplicar a linha 5 por 32 para facilitar as eliminações futuras:
L5 = L5 times 32
Após essas operações, a matriz fica:
(ccccc 1 & 0 & 0 & -13 & -53 0 & 1 & 0 & 43 & 13 0 & 0 & 1 & -53 & -43 0 & 0 & 0 & 1 & 114 0 & 0 & 0 & 1 & 1 )

Passo 6

Vamos agora eliminar os coeficientes acima e abaixo do 1 na quarta coluna.
  • Linha 5: Tem 1 na quarta posição, igual à linha 4. Vamos subtrair a linha 4 da linha 5 para eliminar esse 1:
    L5 = L5 - L4
  • Linha 1: Tem -13 na quarta posição. Vamos adicionar 13 vezes a linha 4 à linha 1:
    L1 = L1 + 13 times L4
  • Linha 2: Tem 43 na quarta posição. Vamos subtrair 43 vezes a linha 4 da linha 2:
    L2 = L2 - 43 times L4
  • Linha 3: Tem -53 na quarta posição. Vamos adicionar 53 vezes a linha 4 à linha 3:
    L3 = L3 + 53 times L4
Após essas operações, a matriz fica:
(ccccc 1 & 0 & 0 & 0 & -53 + 13 times 114 0 & 1 & 0 & 0 & 13 - 43 times 114 0 & 0 & 1 & 0 & -43 + 53 times 114 0 & 0 & 0 & 1 & 114 0 & 0 & 0 & 0 & 1314 )
Vamos simplificar os termos constantes:
  • Linha 1: -53 + 142 = -7042 + 142 = -6942 = -2314
  • Linha 2: 13 - 442 = 1442 - 442 = 1042 = 521
  • Linha 3: -43 + 542 = -5642 + 542 = -5142 = -1714
Assim, a matriz fica:
(ccccc 1 & 0 & 0 & 0 & -2314 0 & 1 & 0 & 0 & 521 0 & 0 & 1 & 0 & -1714 0 & 0 & 0 & 1 & 114 0 & 0 & 0 & 0 & 1314 )

Passo 7

Observamos que na última linha temos um enunciado da forma 0 = 1314, o que é uma contradição, já que isso não é verdade. Isso significa que o sistema não tem solução consistente; ou seja, ele é inconsistente e não existe um conjunto de valores para as variáveis que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Resposta

O sistema é inconsistente e não possui solução.

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