Resolva os sistemas a seguir, utilizando a regra de cramer.
l2 a-b+c=3 a-b+2 c=3 a+b+c=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. Esse método é da matemática, mais especificamente da Álgebra Linear, e a gente vai precisar calcular alguns determinantes para achar as soluções das incógnitas 2a - b + c = 3 a - b + 2c = 3 a + b + c = 6 , e . O sistema que vamos resolver é:

Passo 2

Primeiro, a gente precisa montar a matriz dos coeficientes do sistema. Isso significa pegar os números que estão na frente das incógnitas A = 2 & -1 & 1 1 & -1 & 2 1 & 1 & 1 , e nas três equações e organizar em uma tabela:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 2 cdot (-1 cdot 1 - 2 cdot 1) - (-1) cdot (1 cdot 1 - 2 cdot 1) + 1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 1) . O determinante é um número que a gente consegue a partir da matriz e que é essencial para aplicar a Regra de Cramer. Para uma matriz det(A) = 2 cdot (-1 - 2) - (-1) cdot (1 - 2) + 1 cdot (1 + 1) = 2 cdot (-3) + 1 cdot (-1) + 1 cdot 2 = -6 -1 +2 = -5 , a gente calcula assim:
Resolvendo:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o determinante para Aa = 3 & -1 & 1 3 & -1 & 2 6 & 1 & 1 , que a gente chama de det(Aa) = 3 cdot (-1 cdot 1 - 2 cdot 1) - (-1) cdot (3 cdot 1 - 2 cdot 6) + 1 cdot (3 cdot 1 - (-1) cdot 6) . Para isso, substituímos a coluna de det(Aa) = 3 cdot (-1 -2) +1 cdot (3 -12) +1 cdot (3 +6) = 3 cdot (-3) +1 cdot (-9) +1 cdot 9 = -9 -9 +9 = -9 pelos termos constantes das equações (os números do lado direito):
Calculando :
Resolvendo:

Passo 5

Para encontrar a = det(Aa)det(A) = -9-5 = 95 = 1,8 , a gente divide pela :

Passo 6

Agora, vamos calcular o determinante para Ab = 2 & 3 & 1 1 & 3 & 2 1 & 6 & 1 , que é det(Ab) = 2 cdot (3 cdot 1 - 2 cdot 6) - 3 cdot (1 cdot 1 - 2 cdot 1) +1 cdot (1 cdot 6 -3 cdot1) . Substituímos a coluna de det(Ab) = 2 cdot (3 -12) -3 cdot (1 -2) +1 cdot (6 -3) = 2 cdot (-9) +3 cdot 1 +1 cdot 3 = -18 +3 +3 = -12 pelos termos constantes:
Calculando :
Resolvendo:

Passo 7

Para encontrar b = det(Ab)det(A) = -12-5 = 125 = 2,4 , dividimos pela :

Passo 8

Por último, vamos calcular o determinante para Ac = 2 & -1 & 3 1 & -1 & 3 1 & 1 & 6 , chamado det(Ac) = 2 cdot (-1 cdot 6 - 3 cdot1) - (-1) cdot (1 cdot6 -3 cdot1) +3 cdot (1 cdot1 - (-1) cdot1) . Substituímos a coluna de det(Ac) = 2 cdot (-6 -3) +1 cdot (6 -3) +3 cdot (1 +1) = 2 cdot (-9) +3 +6 = -18 +3 +6 = -9 pelos termos constantes:
Calculando :
Resolvendo:

Passo 9

Para encontrar c = det(Ac)det(A) = -9-5 = 95 = 1,8 , dividimos pela :

Resposta

As soluções do sistema são , e .

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