Determine os valores de k(k in R), para que os sistemas sejam normais:
l(k-1) x+4 y=2 k (k+1) x-2 y=1+3 k
OBS: Sist. Linear Normal =ln^circ equações =n^circ incógnitas Deçõóó

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com duas equações e duas incógnitas:
(k-1)x + 4y = 2k (k+1)x - 2y = 1 + 3k
Queremos encontrar os valores de que tornam esse sistema normal. Um sistema linear é considerado normal quando o número de equações é igual ao número de incógnitas e o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz dos coeficientes e encontrar para quais valores de ele não é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. As equações estão na forma k-1 & 4 k+1 & -2 , então a matriz dos coeficientes é:
Aqui, os coeficientes de e nas duas equações formam essa matriz.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz Determinante = (a cdot d) - (b cdot c) é calculado da seguinte forma:
Determinante = (k-1)(-2) - (4)(k+1)
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
(k-1)(-2) = -2k + 2
4(k+1) = 4k + 4
Então, o determinante fica:
-2k + 2 - (4k + 4) = -2k + 2 - 4k - 4 = -6k - 2

Passo 5

Para que o sistema seja normal, o determinante deve ser diferente de zero:
-6k - 2 neq 0
Vamos resolver essa inequação para -6k - 2 neq 0 -6k neq 2 k neq 2-6 k neq -13 :

Resposta

Os valores de que tornam o sistema normal são todos os números reais, exceto . Ou seja, com .

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