Resolva os sistemas a seguir, utilizando a regra de cramer.
l2 x-y-4 z=3 -x+3 y+z=-10 3 x+2 y-2 z=-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. Esse método é super útil quando temos um sistema linear com o mesmo número de equações e incógnitas. A gente vai precisar calcular determinantes de matrizes para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que a gente tem:
2x - y - 4z = 3 -x + 3y + z = -10 3x + 2y - 2z = -2
Aqui, temos três equações com três incógnitas: , e .

Passo 3

Agora, vamos formar a matriz dos coeficientes, que é a matriz formada pelos números que acompanham as incógnitas nas equações:
A = 2 & -1 & -4 -1 & 3 & 1 3 & 2 & -2

Passo 4

O próximo passo é calcular o determinante da matriz dos coeficientes ( det(A) = 2 cdot (3 cdot (-2) - 1 cdot 2) - (-1) cdot (-1 cdot (-2) - 1 cdot 3) + (-4) cdot (-1 cdot 2 - 3 cdot 3) ). Esse determinante vai nos ajudar a encontrar os valores das incógnitas.
Vamos calcular det(A) = 2 cdot (-6 - 2) - (-1) cdot (2 - 3) + (-4) cdot (-2 - 9) :
det(A) = 2 cdot (-8) - (-1) cdot (-1) + (-4) cdot (-11)
Calculando cada parte:
det(A) = -16 - 1 + 44 = 27
Então, .

Passo 5

Agora, vamos criar as matrizes Ax = 3 & -1 & -4 -10 & 3 & 1 -2 & 2 & -2 , Ay = 2 & 3 & -4 -1 & -10 & 1 3 & -2 & -2 e Az = 2 & -1 & 3 -1 & 3 & -10 3 & 2 & -2 substituindo, respectivamente, a coluna de , e pelos termos constantes das equações (lado direito).
Matriz :
Substituímos a primeira coluna por :
Matriz :
Substituímos a segunda coluna por :
Matriz :
Substituímos a terceira coluna por :

Passo 6

Vamos calcular os determinantes dessas novas matrizes.
Calculando det(Ax) = 3 cdot (3 cdot (-2) - 1 cdot 2) - (-1) cdot (-10 cdot (-2) - 1 cdot (-2)) + (-4) cdot (-10 cdot 2 - 3 cdot 3) :
det(Ax) = 3 cdot (-6 - 2) - (-1) cdot (20 + 2) + (-4) cdot (-20 - 9)
det(Ax) = 3 cdot (-8) - (-1) cdot 22 + (-4) cdot (-29)
det(Ax) = -24 + 22 + 116 = 114
det(Ay) = 2 cdot (-10 cdot (-2) - 1 cdot (-2)) - 3 cdot (-1 cdot (-2) - 1 cdot 3) + (-4) cdot (-1 cdot 2 - (-10) cdot 3)
Calculando det(Ay) = 2 cdot (20 + 2) - 3 cdot (2 - 3) + (-4) cdot (-2 + 30) :
det(Ay) = 2 cdot 22 - 3 cdot (-1) + (-4) cdot 28
det(Ay) = 44 + 3 - 112 = -65
det(Az) = 2 cdot (3 cdot (-2) - (-10) cdot 2) - (-1) cdot (-1 cdot (-2) - (-10) cdot 3) + 3 cdot (-1 cdot 2 - 3 cdot 3)
det(Az) = 2 cdot (-6 + 20) - (-1) cdot (2 + 30) + 3 cdot (-2 - 9)
Calculando det(Az) = 2 cdot 14 - (-1) cdot 32 + 3 cdot (-11) :
det(Az) = 28 + 32 - 33 = 27

Passo 7

Agora, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar os valores de x = det(Ax)det(A) = 11427 = 389 approx 4,22 , y = det(Ay)det(A) = -6527 approx -2,41 e z = det(Az)det(A) = 2727 = 1 :

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 389 approx 4,22, y approx -2,41, z = 1

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