Dada a matriz abaixo:
(A mid B)=(ccccc 1 & 0 & 1 & -2 & -1 2 & 1 & 0 & 2 & 1 0 & -1 & -1 & -1 & 1 1 & -1 & 1 & 0 & -1 1 & -2 & 0 & 1 & -1 )
Se ela representar, como matriz aumentada, o sistema linear de equações A X=B, este sistema é possível ou impossível? Se for possível, é determinado ou indeterminado? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma matriz aumentada que representa um sistema linear de equações. Nosso objetivo aqui é descobrir se esse sistema tem solução ou não. Se tiver, vamos ver se é uma solução única ou se tem várias soluções possíveis. Para fazer isso, vamos usar um método chamado eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar a matriz e facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada que você forneceu:
(ccccc 1 & 0 & 1 & -2 & -1 2 & 1 & 0 & 2 & 1 0 & -1 & -1 & -1 & 1 1 & -1 & 1 & 0 & -1 1 & -2 & 0 & 1 & -1 )
Aqui, as primeiras quatro colunas representam os coeficientes das variáveis do sistema, e a última coluna representa os termos constantes.

Passo 3

Vamos começar a usar a eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal todos os elementos são zero.
Primeiro, vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1 (já está pronto). Em seguida, vamos eliminar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna.

Passo 4

Para eliminar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna, fazemos o seguinte:
  • Linha 2: (ccccc 1 & 0 & 1 & -2 & -1 0 & 1 & -2 & 6 & 3 0 & -1 & -1 & -1 & 1 0 & -1 & 0 & 2 & 0 0 & -2 & -1 & 3 & 0 )
  • Linha 4:
  • Linha 5:
Após essas operações, a matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Nosso objetivo é ter um 1 na posição (2,2) e zeros abaixo dele.
Já temos um 1 na posição (2,2). Vamos eliminar os -1 da terceira e quarta linhas:
  • Linha 3: (ccccc 1 & 0 & 1 & -2 & -1 0 & 1 & -2 & 6 & 3 0 & 0 & -3 & 5 & 4 0 & 0 & -2 & 8 & 3 0 & 0 & -5 & 15 & 6 )
  • Linha 4:
  • Linha 5:
A matriz agora fica:

Passo 6

Vamos seguir para a terceira coluna. Queremos ter um 1 na posição (3,3) e zeros abaixo dele.
Primeiro, vamos dividir a terceira linha por -3 para obter um 1:
(ccccc 1 & 0 & 1 & -2 & -1 0 & 1 & -2 & 6 & 3 0 & 0 & 1 & -53 & -43 0 & 0 & -2 & 8 & 3 0 & 0 & -5 & 15 & 6 ) :
(ccccc 1 & 0 & 1 & -2 & -1 0 & 1 & -2 & 6 & 3 0 & 0 & 1 & -53 & -43 0 & 0 & 0 & 143 & 13 0 & 0 & 0 & 203 & -23 )
A matriz fica:
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do 1 na terceira coluna:
  • Linha 4:
  • Linha 5:
A matriz agora é:

Passo 7

Agora, vamos para a quarta coluna. Queremos ter um 1 na posição (4,4). Para isso, vamos multiplicar a quarta linha por (ccccc 1 & 0 & 1 & -2 & -1 0 & 1 & -2 & 6 & 3 0 & 0 & 1 & -53 & -43 0 & 0 & 0 & 1 & 114 0 & 0 & 0 & 203 & -23 ) :
(ccccc 1 & 0 & 1 & -2 & -1 0 & 1 & -2 & 6 & 3 0 & 0 & 1 & -53 & -43 0 & 0 & 0 & 1 & 114 0 & 0 & 0 & 0 & -87 ) :
A matriz fica:
Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do 1 na quarta coluna:
  • Linha 5:
A matriz fica:

Passo 8

Agora, vamos analisar a última linha da matriz:
0 0 0 0 -87
Isso representa a equação:
0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = -87
Ou seja:
0 = -87
Isso é uma contradição, pois 0 nunca é igual a um número diferente de zero. Isso significa que o sistema não tem solução.

Resposta

O sistema linear é impossível; não há solução que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Exercícios relacionados