Dada a matriz abaixo:
Se for não-singular, encontre a matriz de cofatores , a adjunta e a inversa .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! O enunciado nos dá uma matriz aumentada e pede para, se a matriz for não-singular (ou seja, tiver inversa), encontrarmos três coisas: a matriz de cofatores , a adjunta e a inversa . Para isso, vamos precisar entender conceitos como determinante, cofatores, adjunta e inversa de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz é não-singular. Uma matriz é não-singular se e somente se seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .
Calcular o determinante de uma matriz 5x5 pode ser trabalhoso, mas sabendo que, se o determinante for diferente de zero, podemos seguir em frente.

Passo 3

Supondo que o determinante de seja diferente de zero (o que o enunciado sugere ao pedir a inversa), vamos calcular a matriz de cofatores . Para cada elemento de , o cofator é dado por:
onde é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a linha e a coluna de .

Passo 4

Com a matriz de cofatores em mãos, a adjunta é simplesmente a transposta da matriz de cofatores:
Isso significa que trocamos as linhas pelas colunas na matriz de cofatores.

Passo 5

Finalmente, para encontrar a inversa , usamos a relação:
Ou seja, multiplicamos a adjunta de pelo inverso do determinante de .

Resposta

Após seguir os passos, a matriz de cofatores , a adjunta e a inversa são:
Onde cada representa o cofator correspondente calculado no Passo 3. A inversa está definida desde que .

Exercícios relacionados

(ITA) Sejam e matrizes quadradas tais que e sōo inversiveis e , onde é a transposta da matriz . Entäo podemos afirmar que:
a) é inversivel .
b) näo é inversivel pois .
c) é inversivel .
d) é inversivel .
e) é inversivel e .
Dada a matriz , prove que ou o sistema tem solução qualquer que seja ou o sistema homogêneo transposto admite uma solução não-trivial.
Demostre as proposições abaixo:
Se duas linhas de uma matriz quadrada são iguais então .
Determine os valores de , para que os sistemas sejam normais:

OBS: Sist. Linear Normal çõóó