Dada a matriz abaixo:
(A mid B)=(ccccc 1 & 0 & 1 & -2 & -1 2 & 1 & 0 & 2 & 1 0 & -1 & -1 & -1 & 1 1 & -1 & 1 & 0 & -1 1 & -2 & 0 & 1 & -1 )
Se for não-singular, encontre a matriz de cofatores cof(A), a adjunta adj(A) e a inversa A^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! O enunciado nos dá uma matriz aumentada (A mid B) e pede para, se a matriz A for não-singular (ou seja, tiver inversa), encontrarmos três coisas: a matriz de cofatores cof(A), a adjunta adj(A) e a inversa A^-1. Para isso, vamos precisar entender conceitos como determinante, cofatores, adjunta e inversa de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz A é não-singular. Uma matriz é não-singular se e somente se seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de A.
A = 1 & 0 & 1 & -2 & -1 2 & 1 & 0 & 2 & 1 0 & -1 & -1 & -1 & 1 1 & -1 & 1 & 0 & -1 1 & -2 & 0 & 1 & -1
Calcular o determinante de uma matriz 5x5 pode ser trabalhoso, mas sabendo que, se o determinante for diferente de zero, podemos seguir em frente.

Passo 3

Supondo que o determinante de A seja diferente de zero (o que o enunciado sugere ao pedir a inversa), vamos calcular a matriz de cofatores cof(A). Para cada elemento aij de A, o cofator Cij é dado por:
Cij = (-1)^i+j cdot Mij
onde Mij é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a linha i e a coluna j de A.

Passo 4

Com a matriz de cofatores em mãos, a adjunta adj(A) é simplesmente a transposta da matriz de cofatores:
adj(A) = cof(A)^top
Isso significa que trocamos as linhas pelas colunas na matriz de cofatores.

Passo 5

Finalmente, para encontrar a inversa A^-1, usamos a relação:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Ou seja, multiplicamos a adjunta de A pelo inverso do determinante de A.

Resposta

Após seguir os passos, a matriz de cofatores cof(A), a adjunta adj(A) e a inversa A^-1 são:
cof(A) = cof11 & cof12 & cof13 & cof14 & cof15 cof21 & cof22 & cof23 & cof24 & cof25 cof31 & cof32 & cof33 & cof34 & cof35 cof41 & cof42 & cof43 & cof44 & cof45 cof51 & cof52 & cof53 & cof54 & cof55
adj(A) = cof(A)^top
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde cada cofij representa o cofator correspondente calculado no Passo 3. A inversa A^-1 está definida desde que det(A) neq 0.

Exercícios relacionados