Demostre as proposições abaixo:
Se duas linhas de uma matriz quadrada são iguais então .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é pra gente provar que se duas linhas de uma matriz quadrada são iguais, então o determinante dessa matriz é zero. Vamos usar alguns conceitos de matrizes e determinantes para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz quadrada. É uma matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas, tipo 2x2, 3x3, e por aí vai.
Passo 3
Agora, sobre o determinante. O determinante é um número que a gente calcula a partir de uma matriz quadrada e que dá várias informações, como se a matriz é invertível ou não. Um determinante igual a zero significa que a matriz não tem inversa.
Passo 4
Uma propriedade importante dos determinantes é que se duas linhas (ou colunas) de uma matriz são iguais, então o determinante dessa matriz é zero. Isso acontece porque, basicamente, ter duas linhas iguais faz com que a matriz seja “linearmente dependente”, o que força o determinante a ser zero.
Passo 5
Para provar isso, vamos considerar uma matriz quadrada onde a linha é igual à linha (com ).
Passo 6
Sabemos que trocar duas linhas de uma matriz altera o sinal do determinante. Mas, se as duas linhas são iguais, trocar elas não muda a matriz. Então, temos:
Isso só é possível se .
Passo 7
Portanto, mostramos que se uma matriz quadrada tem duas linhas iguais, seu determinante é zero.
Resposta
Se duas linhas de uma matriz quadrada são iguais, então .