Dada a matriz a in M(m times n), prove que ou o sistema a x=b tem solução qualquer que seja b in M(m times 1) ou o sistema homogêneo transposto a^top y=0 admite uma solução não-trivial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz a de tamanho m times n e pede para provar que ou o sistema a x = b tem solução para qualquer vetor b de dimensão m times 1, ou então o sistema homogêneo transposto a^top y = 0 tem uma solução não-trivial. Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares, especialmente sobre soluções de sistemas e a relação entre matrizes e seus transpostos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o sistema a x = b tenha solução para qualquer b. Isso quer dizer que a matriz a “cobre” todo o espaço R^m, ou seja, suas colunas geram R^m. Em termos de teoria de matrizes, isso acontece quando a matriz a tem posto máximo, que é igual a m.

Passo 3

Agora, se a matriz a não tem posto máximo, ou seja, seu posto é menor que m, então as colunas de a não conseguem gerar todo o espaço R^m. Isso significa que existem vetores b para os quais o sistema a x = b não tem solução.

Passo 4

Nesse caso, aplicamos o Teorema Fundamental da Álgebra Linear, que nos diz que se o sistema a x = b não tem solução para algum b, então o sistema homogêneo correspondente a x = 0 tem uma solução não-trivial. Ou seja, além da solução trivial (onde todas as variáveis são zero), existe pelo menos uma solução onde algumas variáveis são diferentes de zero.

Passo 5

Contudo, o exercício nos pede para olhar para o sistema transposto a^top y = 0. A relação aqui é que se a não tem posto máximo, então seu transposto também não tem posto máximo, o que implica que o sistema a^top y = 0 terá soluções não-triviais.

Resposta

Portanto, provamos que ou o sistema a x = b tem solução para qualquer b in R^m, ou o sistema transposto homogêneo a^top y = 0 admite uma solução não-trivial.

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