Dada a matriz
, prove que ou o sistema
tem solução qualquer que seja
ou o sistema homogêneo transposto
admite uma solução não-trivial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz
de tamanho
e pede para provar que ou o sistema
tem solução para qualquer vetor
de dimensão
, ou então o sistema homogêneo transposto
tem uma solução não-trivial. Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares, especialmente sobre soluções de sistemas e a relação entre matrizes e seus transpostos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o sistema
tenha solução para qualquer
. Isso quer dizer que a matriz
“cobre” todo o espaço
, ou seja, suas colunas geram
. Em termos de teoria de matrizes, isso acontece quando a matriz
tem posto máximo, que é igual a
.
Passo 3
Agora, se a matriz
não tem posto máximo, ou seja, seu posto é menor que
, então as colunas de
não conseguem gerar todo o espaço
. Isso significa que existem vetores
para os quais o sistema
não tem solução.
Passo 4
Nesse caso, aplicamos o Teorema Fundamental da Álgebra Linear, que nos diz que se o sistema
não tem solução para algum
, então o sistema homogêneo correspondente
tem uma solução não-trivial. Ou seja, além da solução trivial (onde todas as variáveis são zero), existe pelo menos uma solução onde algumas variáveis são diferentes de zero.
Passo 5
Contudo, o exercício nos pede para olhar para o sistema transposto
. A relação aqui é que se
não tem posto máximo, então seu transposto também não tem posto máximo, o que implica que o sistema
terá soluções não-triviais.
Resposta
Portanto, provamos que ou o sistema
tem solução para qualquer
, ou o sistema transposto homogêneo
admite uma solução não-trivial.