(ITA) Sejam A, B e C matrizes quadradas n times n tais que A e B sōo inversiveis e A B C A=A^t, onde A^t é a transposta da matriz A. Entäo podemos afirmar que:
a) C é inversivel e det C=det(A B)^-1.
b) C näo é inversivel pois det C=0.
c) C é inversivel e det C=det B.
d) C é inversivel e det C=(det A)^2 cdot det B.
e) C é inversivel e det C=det Adet B.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos três matrizes quadradas , e de ordem . As matrizes e são inversíveis, ou seja, elas têm inversas. A equação dada é , onde é a transposta de .
Para resolver esse problema, vamos precisar entender sobre matrizes inversíveis, determinantes e propriedades da transposta de uma matriz. Vamos também usar propriedades de multiplicação de matrizes e determinantes.

Passo 2

Como A A^-1 = A^-1 A = I e B B^-1 = B^-1 B = I e são inversíveis, sabemos que existem matrizes inversas e tais que:
Onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos manipular a equação dada A B C A A^-1 = A^t A^-1 para isolar a matriz A B C = A^t A^-1 . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de à direita:
Simplificando:

Passo 4

Agora, multiplicamos ambos os lados pela inversa de B^-1 A B C = B^-1 A^t A^-1 à esquerda:
A C = B^-1 A^t A^-1
Simplificando:

Passo 5

Em seguida, multiplicamos ambos os lados pela inversa de A^-1 A C = A^-1 B^-1 A^t A^-1 à esquerda:
C = A^-1 B^-1 A^t A^-1
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos analisar a invertibilidade de . Sabemos que o produto de matrizes inversíveis é inversível e que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes. Portanto, é inversível.

Passo 7

Vamos calcular o determinante de det(C) = det(A^-1 B^-1 A^t A^-1) = det(A^-1) cdot det(B^-1) cdot det(A^t) cdot det(A^-1) . Usando a propriedade do determinante do produto:
det(C) = 1det(A) cdot 1det(B) cdot det(A) cdot 1det(A) = 1det(A) cdot det(B)
Sabemos que e que . Substituindo:

Resposta

A alternativa e) está correta: é inversível e .

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