(ITA) Sejam
e
matrizes quadradas
tais que
e
sōo inversiveis e
, onde
é a transposta da matriz
. Entäo podemos afirmar que:
a)
é inversivel
.
b)
näo é inversivel pois
.
c)
é inversivel
.
d)
é inversivel
.
e)
é inversivel e
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos três matrizes quadradas
,
e
de ordem
. As matrizes
e
são inversíveis, ou seja, elas têm inversas. A equação dada é
, onde
é a transposta de
.
Para resolver esse problema, vamos precisar entender sobre matrizes inversíveis, determinantes e propriedades da transposta de uma matriz. Vamos também usar propriedades de multiplicação de matrizes e determinantes.
Passo 2
Como
e
são inversíveis, sabemos que existem matrizes inversas
e
tais que:
Onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos manipular a equação dada
para isolar a matriz
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de
à direita:
Simplificando:
Passo 4
Agora, multiplicamos ambos os lados pela inversa de
à esquerda:
Simplificando:
Passo 5
Em seguida, multiplicamos ambos os lados pela inversa de
à esquerda:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos analisar a invertibilidade de
. Sabemos que o produto de matrizes inversíveis é inversível e que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes. Portanto,
é inversível.
Passo 7
Vamos calcular o determinante de
. Usando a propriedade do determinante do produto:
Sabemos que
e que
. Substituindo:
Resposta
A alternativa e) está correta:
é inversível e
.