(ITA) Sejam e matrizes quadradas tais que e sōo inversiveis e , onde é a transposta da matriz . Entäo podemos afirmar que:
a) é inversivel .
b) näo é inversivel pois .
c) é inversivel .
d) é inversivel .
e) é inversivel e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos três matrizes quadradas , e de ordem . As matrizes e são inversíveis, ou seja, elas têm inversas. A equação dada é , onde é a transposta de .
Para resolver esse problema, vamos precisar entender sobre matrizes inversíveis, determinantes e propriedades da transposta de uma matriz. Vamos também usar propriedades de multiplicação de matrizes e determinantes.

Passo 2

Como e são inversíveis, sabemos que existem matrizes inversas e tais que:
Onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos manipular a equação dada para isolar a matriz . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de à direita:
Simplificando:

Passo 4

Agora, multiplicamos ambos os lados pela inversa de à esquerda:
Simplificando:

Passo 5

Em seguida, multiplicamos ambos os lados pela inversa de à esquerda:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos analisar a invertibilidade de . Sabemos que o produto de matrizes inversíveis é inversível e que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes. Portanto, é inversível.

Passo 7

Vamos calcular o determinante de . Usando a propriedade do determinante do produto:
Sabemos que e que . Substituindo:

Resposta

A alternativa e) está correta: é inversível e .

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Dada a matriz a , calcule e, a partir daí, encontre uma matriz tal que .
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Demostre as proposições abaixo:
Se duas linhas de uma matriz quadrada são iguais então .