Demostre as proposições abaixo:
O determinante troca de sinal se permutarmos duas linhas.

Passo 1

O exercício pede para demonstrar que o determinante de uma matriz muda de sinal quando trocamos duas linhas. Vamos abordar esse problema usando conceitos de álgebra linear, especialmente as propriedades dos determinantes e das operações com matrizes. Para resolver, vamos revisar como a troca de linhas afeta o valor do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o determinante. O determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um número real (ou complexo), que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível.

Passo 3

Uma propriedade fundamental dos determinantes é que se trocarmos duas linhas de uma matriz, o valor do determinante será multiplicado por -1. Em outras palavras, o sinal do determinante inverte.

Passo 4

Para entender por que isso acontece, vamos considerar a definição do determinante através das permutações. O determinante é calculado somando-se os produtos de elementos de cada linha multiplicados por sinais que dependem da paridade das permutações.

Passo 5

Quando trocamos duas linhas, estamos basicamente realizando uma permutação ímpar (pois uma troca é uma permutação de paridade ímpar). Cada permutação ímpar contribui com um fator de -1 no cálculo do determinante.

Passo 6

Portanto, ao realizar uma troca de duas linhas, todas as contribuições das permutações ímpares terão seus sinais invertidos, resultando em um determinante que é o negativo do valor original.

Resposta

Assim, ao permutarmos duas linhas de uma matriz, o determinante troca de sinal.

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