Demostre as proposições abaixo:
O determinante troca de sinal se permutarmos duas linhas.
Passo 1
O exercício pede para demonstrar que o determinante de uma matriz muda de sinal quando trocamos duas linhas. Vamos abordar esse problema usando conceitos de álgebra linear, especialmente as propriedades dos determinantes e das operações com matrizes. Para resolver, vamos revisar como a troca de linhas afeta o valor do determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o determinante. O determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um número real (ou complexo), que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível.
Passo 3
Uma propriedade fundamental dos determinantes é que se trocarmos duas linhas de uma matriz, o valor do determinante será multiplicado por -1. Em outras palavras, o sinal do determinante inverte.
Passo 4
Para entender por que isso acontece, vamos considerar a definição do determinante através das permutações. O determinante é calculado somando-se os produtos de elementos de cada linha multiplicados por sinais que dependem da paridade das permutações.
Passo 5
Quando trocamos duas linhas, estamos basicamente realizando uma permutação ímpar (pois uma troca é uma permutação de paridade ímpar). Cada permutação ímpar contribui com um fator de -1 no cálculo do determinante.
Passo 6
Portanto, ao realizar uma troca de duas linhas, todas as contribuições das permutações ímpares terão seus sinais invertidos, resultando em um determinante que é o negativo do valor original.
Resposta
Assim, ao permutarmos duas linhas de uma matriz, o determinante troca de sinal.