Demostre as proposições abaixo:
Se E for uma matriz elementar de , somando-se a uma de suas linhas o múltiplo de outra temos .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para demonstrar que, se E for uma matriz elementar derivada da matriz identidade ao somar um múltiplo de uma linha a outra, então o determinante de E é igual ao determinante de , que é 1. Basicamente, vamos explorar como certas operações em matrizes afetam o determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz elementar. Matriz elementar é aquela que resulta de aplicar uma única operação elementar sobre a matriz identidade. As operações elementares podem ser:
Trocar duas linhas.
Multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero.
Adicionar um múltiplo de uma linha a outra.
No nosso caso, estamos lidando com a terceira operação: adicionar um múltiplo de uma linha a outra.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como essa operação afeta o determinante da matriz. Uma propriedade importante dos determinantes é que adicionar um múltiplo de uma linha a outra linha não altera o determinante da matriz. Isso significa que, se aplicarmos essa operação na matriz identidade, o determinante permanecerá o mesmo.
Passo 4
Aplicando isso à nossa situação: começamos com a matriz identidade , que tem determinante igual a 1 (). Ao somar um múltiplo de uma linha a outra, obtemos a matriz elementar E, e, conforme a propriedade que mencionamos, o determinante de E será igual ao determinante de .