Demostre as proposições abaixo:
Se E for uma matriz elementar de , somando-se a uma de suas linhas o múltiplo de outra temos .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para demonstrar que, se E for uma matriz elementar derivada da matriz identidade ao somar um múltiplo de uma linha a outra, então o determinante de E é igual ao determinante de , que é 1. Basicamente, vamos explorar como certas operações em matrizes afetam o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz elementar. Matriz elementar é aquela que resulta de aplicar uma única operação elementar sobre a matriz identidade. As operações elementares podem ser:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero.
  3. Adicionar um múltiplo de uma linha a outra.
No nosso caso, estamos lidando com a terceira operação: adicionar um múltiplo de uma linha a outra.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como essa operação afeta o determinante da matriz. Uma propriedade importante dos determinantes é que adicionar um múltiplo de uma linha a outra linha não altera o determinante da matriz. Isso significa que, se aplicarmos essa operação na matriz identidade, o determinante permanecerá o mesmo.

Passo 4

Aplicando isso à nossa situação: começamos com a matriz identidade , que tem determinante igual a 1 ( ). Ao somar um múltiplo de uma linha a outra, obtemos a matriz elementar E, e, conforme a propriedade que mencionamos, o determinante de E será igual ao determinante de .

Resposta

Portanto, .

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Demostre as proposições abaixo:
O determinante troca de sinal se permutarmos duas linhas.
Dada a matriz abaixo:
Se ela representar, como matriz aumentada, o sistema linear de equações , este sistema é possível ou impossível? Se for possível, é determinado ou indeterminado? Justifique!
Demostre as proposições abaixo:
Demostre que para matrizes não-singulares.
Dada a matriz a , calcule e, a partir daí, encontre uma matriz tal que .