Dada a matriz
encontre os autovalores e autovetores de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os autovalores e autovetores da matriz :
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de autovalores e autovetores. Precisamos saber como calcular determinantes e resolver equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 5

Igualamos o determinante a zero para encontrar os valores de :
Isso nos dá duas soluções:
Então, os autovalores são e .

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Para cada autovalor , resolvemos a equação:
onde é o autovetor.

Passo 7

Primeiro, para :
Então, temos o sistema:

Passo 8

Simplificando, essas equações nos dão . Como é livre, podemos escolher . Assim, um autovetor para é:

Passo 9

Agora, para :
O sistema fica:

Passo 10

Da primeira equação, temos . Podemos escolher , então . Portanto, um autovetor para é:

Resposta

Os autovalores e seus respectivos autovetores da matriz são:
  • Autovalor com autovetor
  • Autovalor com autovetor

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Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Se e são paralelos, então .
Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Se , então são paralelos.
Resolva o sistema nas incógnitas e .
Dada a matriz
determine os autovalores e autovetores de .