Dada a matriz
encontre os autovalores e autovetores de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os autovalores e autovetores da matriz
:
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de autovalores e autovetores. Precisamos saber como calcular determinantes e resolver equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de
. Os autovalores são os valores de
que satisfazem a equação característica:
Aqui,
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
Igualamos o determinante a zero para encontrar os valores de
:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 6
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada
. Para cada autovalor
, resolvemos a equação:
onde
é o autovetor.
Passo 7
Primeiro, para
:
Então, temos o sistema:
Passo 8
Simplificando, essas equações nos dão
. Como
é livre, podemos escolher
. Assim, um autovetor para
é:
Passo 9
Agora, para
:
O sistema fica:
Passo 10
Da primeira equação, temos
. Podemos escolher
, então
. Portanto, um autovetor para
é:
Resposta
Os autovalores e seus respectivos autovetores da matriz
são:
- Autovalor
com autovetor - Autovalor
com autovetor
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Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Se
e
são paralelos, então
.
Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Se
, então
são paralelos.
Resolva o sistema nas incógnitas
e
.
Dada a matriz
determine os autovalores e autovetores de
.