Dada a matriz
A=(ll 3 & 1 0 & 2 )
encontre os autovalores e autovetores de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os autovalores e autovetores da matriz A=(ll 3 & 1 0 & 2 ) :
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de autovalores e autovetores. Precisamos saber como calcular determinantes e resolver equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = (ll 3 - lambda & 1 0 & 2 - lambda ) :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(2 - lambda) - (1)(0) = (3 - lambda)(2 - lambda)

Passo 5

Igualamos o determinante a zero para encontrar os valores de (3 - lambda)(2 - lambda) = 0 :
3 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 3
Isso nos dá duas soluções:
2 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 2
Então, os autovalores são e .

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada (A - lambda I)v = 0 . Para cada autovalor , resolvemos a equação:
onde é o autovetor.

Passo 7

Primeiro, para A - 3I = (ll 3 - 3 & 1 0 & 2 - 3 ) = (ll 0 & 1 0 & -1 ) :
0 cdot v1 + 1 cdot v2 = 0 0 cdot v1 - 1 cdot v2 = 0
Então, temos o sistema:

Passo 8

Simplificando, essas equações nos dão v1 = (c 1 0 ) . Como é livre, podemos escolher . Assim, um autovetor para é:

Passo 9

Agora, para A - 2I = (ll 3 - 2 & 1 0 & 2 - 2 ) = (ll 1 & 1 0 & 0 ) :
1 cdot v1 + 1 cdot v2 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 = 0
O sistema fica:

Passo 10

Da primeira equação, temos v2 = (c -1 1 ) . Podemos escolher , então . Portanto, um autovetor para é:

Resposta

Os autovalores e seus respectivos autovetores da matriz 1 0 são:
  • Autovalor -1 1 com autovetor
  • Autovalor com autovetor

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