Dada a matriz A, calcule sua matriz adjunta
A=[lll 1 & 2 & 3 0 & 1 & 4 5 & 6 & 0 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a matriz adjunta da matriz . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes de cofatores e transposição. Vamos precisar calcular os cofatores de cada elemento da matriz e, depois, transpor a matriz de cofatores para obter a adjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um cofator. O cofator de um elemento Cij = (-1)^i+j cdot det(Mij) é dado por:
onde é a matriz resultante de remover a -ésima linha e a -ésima coluna de , e é o determinante dessa matriz menor.

Passo 3

Vamos calcular os cofatores para cada elemento da matriz A = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 4 5 & 6 & 0 :
1 & 4 6 & 0

Cofatores da primeira linha:

  • (1)(0) - (4)(6) = 0 - 24 = -24 :
    • Matriz menor C11 = (-1)^1+1 cdot (-24) = 1 cdot (-24) = -24 : 0 & 4 5 & 0
    • Determinante: (0)(0) - (4)(5) = 0 - 20 = -20
    • Cofator: C12 = (-1)^1+2 cdot (-20) = -1 cdot (-20) = 20
  • 0 & 1 5 & 6 :
    • Matriz menor (0)(6) - (1)(5) = 0 - 5 = -5 : C13 = (-1)^1+3 cdot (-5) = 1 cdot (-5) = -5
    • Determinante: 2 & 3 6 & 0
    • Cofator: (2)(0) - (3)(6) = 0 - 18 = -18
  • C21 = (-1)^2+1 cdot (-18) = -1 cdot (-18) = 18 :
    • Matriz menor 1 & 3 5 & 0 : (1)(0) - (3)(5) = 0 - 15 = -15
    • Determinante: C22 = (-1)^2+2 cdot (-15) = 1 cdot (-15) = -15
    • Cofator: 1 & 2 5 & 6

Cofatores da segunda linha:

  • (1)(6) - (2)(5) = 6 - 10 = -4 :
    • Matriz menor C23 = (-1)^2+3 cdot (-4) = -1 cdot (-4) = 4 : 2 & 3 1 & 4
    • Determinante: (2)(4) - (3)(1) = 8 - 3 = 5
    • Cofator: C31 = (-1)^3+1 cdot 5 = 1 cdot 5 = 5
  • 1 & 3 0 & 4 :
    • Matriz menor (1)(4) - (3)(0) = 4 - 0 = 4 : C32 = (-1)^3+2 cdot 4 = -1 cdot 4 = -4
    • Determinante: 1 & 2 0 & 1
    • Cofator: (1)(1) - (2)(0) = 1 - 0 = 1
  • C33 = (-1)^3+3 cdot 1 = 1 cdot 1 = 1 :
    • Matriz menor :
    • Determinante:
    • Cofator:

Cofatores da terceira linha:

  • :
    • Matriz menor :
    • Determinante:
    • Cofator:
  • :
    • Matriz menor :
    • Determinante:
    • Cofator:
  • :
    • Matriz menor :
    • Determinante:
    • Cofator:

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz de cofatores:
Cof(A) = -24 & 20 & -5 18 & -15 & 4 5 & -4 & 1

Passo 5

A matriz adjunta (ou adjugate) é a transposta da matriz de cofatores. Ou seja, trocamos as linhas pelas colunas:
Adj(A) = Cof(A)^T = -24 & 18 & 5 20 & -15 & -4 -5 & 4 & 1

Resposta

A matriz adjunta de Adj(A) = -24 & 18 & 5 20 & -15 & -4 -5 & 4 & 1 é:

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