Dada a matriz , calcule sua matriz adjunta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a matriz adjunta da matriz . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes de cofatores e transposição. Vamos precisar calcular os cofatores de cada elemento da matriz e, depois, transpor a matriz de cofatores para obter a adjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um cofator. O cofator de um elemento é dado por:
onde é a matriz resultante de remover a -ésima linha e a -ésima coluna de , e é o determinante dessa matriz menor.

Passo 3

Vamos calcular os cofatores para cada elemento da matriz :

Cofatores da primeira linha:

  • :
    • Matriz menor :
    • Determinante:
    • Cofator:
  • :
    • Matriz menor :
    • Determinante:
    • Cofator:
  • :
    • Matriz menor :
    • Determinante:
    • Cofator:

Cofatores da segunda linha:

  • :
    • Matriz menor :
    • Determinante:
    • Cofator:
  • :
    • Matriz menor :
    • Determinante:
    • Cofator:
  • :
    • Matriz menor :
    • Determinante:
    • Cofator:

Cofatores da terceira linha:

  • :
    • Matriz menor :
    • Determinante:
    • Cofator:
  • :
    • Matriz menor :
    • Determinante:
    • Cofator:
  • :
    • Matriz menor :
    • Determinante:
    • Cofator:

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz de cofatores:

Passo 5

A matriz adjunta (ou adjugate) é a transposta da matriz de cofatores. Ou seja, trocamos as linhas pelas colunas:

Resposta

A matriz adjunta de é:

Exercícios relacionados

Seja . Prove que é ortogonal. Conclua que .
Resolva o seguinte sistema linear.
Resolva o seguinte sistema linear usando a regra de Cramer
Calcule o determinante de cada matriz.